四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。4つの面はすべて合同であり、$OA = 3$, $OB = \sqrt{7}$, $AB = 2$であるとする。また、3点O, A, Bを含む平面をLとする。点Cから平面Lに下ろした垂線の足をHとおく。$\overrightarrow{OH}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。4つの面はすべて合同であり、$OA = 3$, $OB = \sqrt{7}$, $AB = 2$であるとする。また、3点O, A, Bを含む平面をLとする。点Cから平面Lに下ろした垂線の足をHとおく。$\overrightarrow{OH}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$と表せる。ただし、$s, t$は実数である。

次に、$\overrightarrow{CH} \perp$ 平面OABなので、$\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{OA}$かつ$\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{OB}$が成り立つ。

$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OC} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}$である。

$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{OA} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = 0$より、

$s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$。

$|\vec{a}| = 3$なので、$|\vec{a}|^2 = 9$。

$\overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{OB} = (s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{b} = 0$より、

$s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - (\vec{c} \cdot \vec{b}) = 0$。

$|\vec{b}| = \sqrt{7}$なので、$|\vec{b}|^2 = 7$。

$OA = 3, OB = \sqrt{7}, AB = 2$より、余弦定理を用いて$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

$|\overrightarrow{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$。

$2^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$より、$4 = 9 + 7 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$。

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$, よって$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$。

四面体の４つの面は合同なので、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 6$となる。

よって、

$9s + 6t - 6 = 0$

$6s + 7t - 6 = 0$

$9s + 6t = 6$

$6s + 7t = 6$

上の式を2倍、下の式を3倍して引くと、

$18s + 12t = 12$

$18s + 21t = 18$

$-9t = -6$, $t = \frac{2}{3}$。

$9s + 6(\frac{2}{3}) = 6$

$9s + 4 = 6$

$9s = 2$, $s = \frac{2}{9}$。

よって、$\overrightarrow{OH} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OH} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$