$t$ を 0 でない実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3tx + 6t = 0$ と $tx^2 + x + 2t = 0$ が共通の実数解を持つとき、共通の実数解と $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

$t$ を 0 でない実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3tx + 6t = 0$ と $tx^2 + x + 2t = 0$ が共通の実数解を持つとき、共通の実数解と $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

共通の実数解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$\alpha^2 - 3t\alpha + 6t = 0$ ...(1)

$t\alpha^2 + \alpha + 2t = 0$ ...(2)

(1)より、$\alpha^2 = 3t\alpha - 6t$ ...(3)

(2)に(3)を代入して、

$t(3t\alpha - 6t) + \alpha + 2t = 0$

$3t^2\alpha - 6t^2 + \alpha + 2t = 0$

$(3t^2 + 1)\alpha = 6t^2 - 2t$

$\alpha = \frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1}$ ...(4)

(1)に(4)を代入して、

$(\frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1})^2 - 3t(\frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1}) + 6t = 0$

$(\frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1})^2 = 3t(\frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1}) - 6t$

$(\frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1})^2 = \frac{3t(6t^2 - 2t) - 6t(3t^2 + 1)}{3t^2 + 1}$

$(\frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1})^2 = \frac{18t^3 - 6t^2 - 18t^3 - 6t}{3t^2 + 1}$

$(\frac{6t^2 - 2t}{3t^2 + 1})^2 = \frac{-6t^2 - 6t}{3t^2 + 1}$

$\frac{(6t^2 - 2t)^2}{(3t^2 + 1)^2} = \frac{-6t^2 - 6t}{3t^2 + 1}$

$(6t^2 - 2t)^2 = (-6t^2 - 6t)(3t^2 + 1)$

$36t^4 - 24t^3 + 4t^2 = -18t^4 - 6t^2 - 18t^3 - 6t$

$54t^4 - 6t^3 + 10t^2 + 6t = 0$

$2t(27t^3 - 3t^2 + 5t + 3) = 0$

$t \neq 0$ より、

$27t^3 - 3t^2 + 5t + 3 = 0$

$t = -1/3$ を代入すると、

$27(-1/27) - 3(1/9) + 5(-1/3) + 3 = -1 - 1/3 - 5/3 + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$

よって、$t = -1/3$ は解である。

したがって、$27t^3 - 3t^2 + 5t + 3 = (3t+1)(9t^2 - 4t + 3) = 0$

$9t^2 - 4t + 3 = 0$ の判別式 $D = (-4)^2 - 4(9)(3) = 16 - 108 = -92 < 0$ なので、実数解を持たない。

よって、$t = -1/3$ のみ。

$t = -1/3$ を(4)に代入して、

$\alpha = \frac{6(1/9) - 2(-1/3)}{3(1/9) + 1} = \frac{2/3 + 2/3}{1/3 + 1} = \frac{4/3}{4/3} = 1$

3. 最終的な答え

共通の実数解は $1$

$t = -\frac{1}{3}$