関数 $f(x) = x^2 + 2$ と $g(x) = -x^2 + ax$ のグラフが点Pを共有し、点Pにおける接線が一致するとき、$a$ の値と点Pの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2$ と $g(x) = -x^2 + ax$ のグラフが点Pを共有し、点Pにおける接線が一致するとき、$a$ の値と点Pの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの $x$ 座標を $t$ とします。点Pで $f(x)$ と $g(x)$ の値が一致するので、

$$f(t) = g(t)$$

$$t^2 + 2 = -t^2 + at$$

$$2t^2 - at + 2 = 0 \quad (*)$$

また、点Pで接線が一致するので、$f'(x)$ と $g'(x)$ の値も一致します。

$f'(x) = 2x$

$g'(x) = -2x + a$

したがって、

$$f'(t) = g'(t)$$

$$2t = -2t + a$$

$$a = 4t$$

この $a = 4t$ を式 (*) に代入すると、

$$2t^2 - (4t)t + 2 = 0$$

$$2t^2 - 4t^2 + 2 = 0$$

$$-2t^2 + 2 = 0$$

$$t^2 = 1$$

$$t = \pm 1$$

$t = 1$ のとき、$a = 4t = 4(1) = 4$

このとき、点Pの $x$ 座標は $1$ であり、$y$ 座標は $f(1) = 1^2 + 2 = 3$

したがって、点Pの座標は $(1, 3)$

$t = -1$ のとき、$a = 4t = 4(-1) = -4$

このとき、点Pの $x$ 座標は $-1$ であり、$y$ 座標は $f(-1) = (-1)^2 + 2 = 3$

したがって、点Pの座標は $(-1, 3)$

3. 最終的な答え

$a = 4$ のとき、Pの座標は $(1, 3)$

$a = -4$ のとき、Pの座標は $(-1, 3)$