与えられた需要関数 $D(p) = 10 - p$ と供給関数 $S(p) = ap$ （ただし、$a$は正の定数）を持つ完全競争市場におけるくもの巣過程に関する問題です。 (1) 市場均衡における取引量 $Q^*$ と均衡価格 $p^*$ を求める。 (2) $t$日目の価格 $p_t$ を $t-1$日目の価格 $p_{t-1}$ を用いて表す漸化式を選択する。 (3) 得られた漸化式を変形して、恒等式 $p_t - [\ast] = -a(p_{t-1} - [\ast])$ を導き、 $[\ast]$ に当てはまるものを選択する。 (4) くもの巣過程が均衡価格に近づくための $a$ に関する条件を求める。

1. 問題の内容

与えられた需要関数 $D(p) = 10 - p$ と供給関数 $S(p) = ap$ （ただし、$a$は正の定数）を持つ完全競争市場におけるくもの巣過程に関する問題です。

(1) 市場均衡における取引量 $Q^*$ と均衡価格 $p^*$ を求める。

(2) $t$日目の価格 $p_t$ を $t-1$日目の価格 $p_{t-1}$ を用いて表す漸化式を選択する。

(3) 得られた漸化式を変形して、恒等式 $p_t - [\ast] = -a(p_{t-1} - [\ast])$ を導き、 $[\ast]$ に当てはまるものを選択する。

(4) くもの巣過程が均衡価格に近づくための $a$ に関する条件を求める。

2. 解き方の手順

(1) 均衡点では、需要と供給が一致するので、$D(p) = S(p)$ となる $p$ を求める。

$10 - p = ap$

$10 = (1+a)p$

$p^* = \frac{10}{1+a}$

均衡取引量 $Q^*$ は、均衡価格を需要関数または供給関数に代入して求めます。

$Q^* = S(p^*) = a \cdot \frac{10}{1+a} = \frac{10a}{1+a}$

(2) くもの巣過程では、 $t$期の供給量は$t-1$期の価格によって決定されます。

$S(p_{t-1}) = ap_{t-1}$

この供給量が$t$期の需要量と一致するので、$D(p_t) = 10 - p_t$とすると、$10 - p_t = ap_{t-1}$　が成り立ちます。

したがって、$p_t = 10 - ap_{t-1}$　となります。これは選択肢aを変形したものです。

(3) $p_t = 10 - ap_{t-1}$を$p_t - [\ast] = -a(p_{t-1} - [\ast])$の形に変形するため、$p_t$が均衡価格$p^*$に収束すると仮定すると、$p_t = p_{t-1} = p^*$　となります。

$p^* = 10 - ap^*$

$p^* = \frac{10}{1+a}$

したがって、$p_t - \frac{10}{1+a} = -a(p_{t-1} - \frac{10}{1+a})$

(4) くもの巣過程が均衡価格に近づくためには、$p_t$ が $p^*$ に収束する必要があります。漸化式 $p_t - p^* = -a(p_{t-1} - p^*)$ を考えると、$|a| < 1$ であれば、$p_t$ は $p^*$ に収束します。

したがって、$a < 1$ であれば良いことになります。

3. 最終的な答え

(Q*, p*) = ($\frac{10a}{1+a}$, $\frac{10}{1+a}$)

選択肢: a

選択肢: c

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