古代遺跡で発見されたミイラを包んでいた繊維から、炭素1gあたり8.05 cpmの $^{14}C$の放射能が観測された。大気中の $^{14}CO_2$の放射能が炭素1gあたり12.5 cpmであるとき、このミイラは何年前のものと考えられるか。 $^{14}C$の半減期は5730年とする。

1. 問題の内容

古代遺跡で発見されたミイラを包んでいた繊維から、炭素1gあたり8.05 cpmの $^{14}C$の放射能が観測された。大気中の $^{14}CO_2$の放射能が炭素1gあたり12.5 cpmであるとき、このミイラは何年前のものと考えられるか。 $^{14}C$の半減期は5730年とする。

2. 解き方の手順

$^{14}C$の年代測定の公式を使用する。

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

ここで、$N(t)$は時間$t$経過後の$^{14}C$の量、$N_0$は初期の$^{14}C$の量、$\lambda$は$^{14}C$の崩壊定数。

問題文から、$N(t) = 8.05$ cpm、 $N_0 = 12.5$ cpmである。

$\lambda$は半減期$T_{1/2}$を用いて $\lambda = \frac{\ln{2}}{T_{1/2}}$と表せる。

この問題では$T_{1/2} = 5730$年なので、

$\lambda = \frac{\ln{2}}{5730}$

したがって、年代測定の公式は、

$8.05 = 12.5 e^{-\frac{\ln{2}}{5730}t}$

この式を$t$について解く。

$\frac{8.05}{12.5} = e^{-\frac{\ln{2}}{5730}t}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln{\frac{8.05}{12.5}} = -\frac{\ln{2}}{5730}t$

$t = -\frac{5730}{\ln{2}} \ln{\frac{8.05}{12.5}}$

$t = -\frac{5730}{\ln{2}} (\ln{8.05} - \ln{12.5})$

$t = -\frac{5730}{0.6931} (2.0857 - 2.5257)$

$t = -\frac{5730}{0.6931} (-0.44)$

$t = \frac{5730}{0.6931} \times 0.44$

$t \approx 3645.5$

3. 最終的な答え

このミイラは約3645年前のものと考えられる。