(1) $\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}$ の計算、$\sum_{n=16}^{80} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の計算 (2) 関数 $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ について、$f(\log_4 3)$ の計算、$f(x) = 5$ のときの $4^x + 4^{-x}$ の計算 (3) 一辺の長さが6の正方形ABCDにおいて、辺CD上に2点P,QをCP = 2, CQ = 3となるようにとる。このとき、$\tan{\angle QBC}$、$\tan{\angle QBP}$、三角形BCPの外接円の半径を求める。 (4) $\sqrt[3]{882m}$が整数となるような最小の自然数 $m$ を求める。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}$ の計算、$\sum_{n=16}^{80} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の計算

(2) 関数 $f(x) = 2^x + 2^{-x}$ について、$f(\log_4 3)$ の計算、$f(x) = 5$ のときの $4^x + 4^{-x}$ の計算

(3) 一辺の長さが6の正方形ABCDにおいて、辺CD上に2点P,QをCP = 2, CQ = 3となるようにとる。このとき、$\tan{\angle QBC}$、$\tan{\angle QBP}$、三角形BCPの外接円の半径を求める。

(4) $\sqrt[3]{882m}$が整数となるような最小の自然数 $m$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{\sqrt{15} + \sqrt{16}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{15} + \sqrt{16}} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{15}}{(\sqrt{16} + \sqrt{15})(\sqrt{16} - \sqrt{15})} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{15}}{16 - 15} = \sqrt{16} - \sqrt{15} = 4 - \sqrt{15}$

よって、1=4, 2=1, 3=5

次に、$\sum_{n=16}^{80} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n+1 - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

$\sum_{n=16}^{80} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = (\sqrt{17} - \sqrt{16}) + (\sqrt{18} - \sqrt{17}) + \cdots + (\sqrt{81} - \sqrt{80}) = \sqrt{81} - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5$

よって、4=5

(2)

$f(x) = 2^x + 2^{-x}$ について、$f(\log_4 3)$ を計算します。

$f(\log_4 3) = 2^{\log_4 3} + 2^{-\log_4 3} = 2^{\log_4 3} + 2^{\log_4 (1/3)}$

$2^{\log_4 3} = (4^{1/2})^{\log_4 3} = 4^{\frac{1}{2} \log_4 3} = 4^{\log_4 \sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$2^{-\log_4 3} = 2^{\log_4 (1/3)} = (4^{1/2})^{\log_4 (1/3)} = 4^{\frac{1}{2} \log_4 (1/3)} = 4^{\log_4 \sqrt{1/3}} = \sqrt{1/3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$f(\log_4 3) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

よって、5=4, 6=3, 7=3

次に、$f(x) = 5$ のときの $4^x + 4^{-x}$ を計算します。

$f(x) = 2^x + 2^{-x} = 5$

$(2^x + 2^{-x})^2 = 5^2$

$2^{2x} + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-2x} = 25$

$4^x + 2 + 4^{-x} = 25$

$4^x + 4^{-x} = 25 - 2 = 23$

よって、8=2, 9=3

(3)

$\tan{\angle QBC} = \frac{CQ}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

よって、10=1, 11=2

$\tan{\angle PBC} = \frac{CP}{BC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\tan{\angle QBP} = \tan{(\angle QBC - \angle PBC)} = \frac{\tan{\angle QBC} - \tan{\angle PBC}}{1 + \tan{\angle QBC} \tan{\angle PBC}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{6}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{7}$

よって、12=1, 13=7

三角形BCPの外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より

$\frac{BP}{\sin{\angle BCP}} = 2R$

$\angle BCP = 90^\circ$なので、$\sin{\angle BCP} = 1$

$BP = \sqrt{BC^2 + CP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$2R = 2\sqrt{10}$

$R = \sqrt{10}$

よって、14=1, 15=0

(4)

$\sqrt[3]{882m} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot m}$

$\sqrt[3]{882m}$ が整数となるには、$2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot m$ がある整数の3乗になる必要がある。

つまり、$2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot m = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7^3 \cdot k^3$ となる最小の $m$ を求めればよい。ここで、$k$は整数。

$m = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot k^3 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ (k=1のとき)

よって、16=8, 17=4

3. 最終的な答え

(1) 1=4, 2=1, 3=5, 4=5

(2) 5=4, 6=3, 7=3, 8=2, 9=3

(3) 10=1, 11=2, 12=1, 13=7, 14=1, 15=0

(4) 16=8, 17=4