## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

(1) 実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x-5$, $y \leq x-1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2+(y-3)^2$ の最大値と最小値を求める。

(2) 座標平面において、2つの不等式 $x^2+y^2 \leq 4$, $y \leq 2x+2$ を同時に満たす領域をAとする。点 $(x, y)$ が領域Aを動くとき、$y-x$ の最大値と最小値を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

1. 与えられた不等式 $y \geq 2x-5$, $y \leq x-1$, $y \geq 0$ を満たす領域を図示する。

2. $x^2 + (y-3)^2 = k$ とおく。これは中心 $(0, 3)$, 半径 $\sqrt{k}$ の円を表す。

3. 図示した領域と円が共有点を持つような $k$ の範囲を求める。

4. $k$ が最大になるのは、円が領域の頂点を通るときである。同様に、$k$ が最小になるのも、円が領域の頂点を通るとき、または領域に接するときである。

5. それぞれの頂点の座標を求め、$x^2 + (y-3)^2$ に代入して $k$ の値を計算し、最大値と最小値を求める。

不等式を連立して領域の頂点を計算する。

$y=2x-5$ と $y=x-1$ より $2x-5 = x-1$, $x=4$, $y=3$。よって、頂点の一つは $(4,3)$.

$y=x-1$ と $y=0$ より $x-1=0$, $x=1$, $y=0$。よって、頂点の一つは $(1,0)$.

$y=2x-5$ と $y=0$ より $2x-5=0$, $x=5/2$, $y=0$。よって、頂点の一つは $(5/2, 0)$.

$x^2 + (y-3)^2$に各頂点の座標を代入する。

$(4,3)$: $4^2+(3-3)^2 = 16$

$(1,0)$: $1^2+(0-3)^2 = 10$

$(5/2, 0)$: $(5/2)^2+(0-3)^2 = 25/4 + 9 = 61/4 = 15.25$

よって、$x^2+(y-3)^2$ の最大値は $16$, 最小値は $10$.

**(2) の解き方**

1. 与えられた不等式 $x^2+y^2 \leq 4$, $y \leq 2x+2$ を満たす領域を図示する。

2. $y - x = k$ とおく。これは $y = x + k$ という傾き1の直線を表す。

3. 図示した領域と直線が共有点を持つような $k$ の範囲を求める。

4. $k$ が最大になるのは、直線が領域の上端に接するとき、または領域の頂点を通るときである。同様に、$k$ が最小になるのは、直線が領域の下端に接するとき、または領域の頂点を通るときである。

5. 直線と円が接する条件は、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $x - y + k = 0$ の距離が円の半径 2 に等しいことである。したがって、

$\frac{|0 - 0 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 2$, $|k| = 2\sqrt{2}$, $k = \pm 2\sqrt{2}$.

6. 直線と直線の交点を求める。

$x^2 + y^2 = 4$ と $y = 2x+2$ を連立させる。

$x^2 + (2x+2)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 + 8x + 4 = 4$

$5x^2 + 8x = 0$

$x(5x+8) = 0$

$x=0$ または $x = -8/5$。$x=0$のとき、$y=2$. $x=-8/5$のとき、$y = -6/5$.

交点は $(0,2)$ と $(-8/5, -6/5)$.

各交点において、$y-x$ の値を計算する。

$(0, 2)$: $2-0 = 2$

$(-8/5, -6/5)$: $-6/5 - (-8/5) = 2/5$

上記の計算と、円と直線の接線の傾きから、最大値は$2\sqrt{2}$, 最小値は$-2\sqrt{2}$ とわかる。

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3. 最終的な答え

(1) 最大値: 16, 最小値: 10

(2) 最大値: $2\sqrt{2}$, 最小値: $-2\sqrt{2}$