平成16年度の小売店のいくつかの県での年間の販売額 $y$ (10億円/年) を売り場面積 $x$ (千m²) で説明する回帰式を求めます。データはファイル「en31.txt」にあります。求めた回帰式を用いて、売り場面積が2000千m²のときの販売額の点推定と信頼係数90%の区間推定を行います。

1. 問題の内容

平成16年度の小売店のいくつかの県での年間の販売額 $y$ (10億円/年) を売り場面積 $x$ (千m²) で説明する回帰式を求めます。データはファイル「en31.txt」にあります。求めた回帰式を用いて、売り場面積が2000千m²のときの販売額の点推定と信頼係数90%の区間推定を行います。

2. 解き方の手順

まず、データファイル「en31.txt」を読み込みます。このファイルには、$x$ (売り場面積)と $y$ (販売額)のデータが含まれています。

次に、線形回帰モデルを構築します。これは、最小二乗法を用いて、データに最も適合する直線 $y = a + bx$ を求めることを意味します。

回帰式の係数 $a$ （切片）と $b$（傾き）は、以下の式で計算できます。

$b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

$a = \bar{y} - b\bar{x}$

ここで、$n$ はデータの数、$x_i$ と $y_i$ は個々のデータ点、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれ $x$ と $y$ の平均値です。

$x = 2000$ のときの点推定は、$y = a + b(2000)$ で計算できます。

次に、90%信頼区間を計算します。これは、売り場面積が2000千m²のときの販売額が、90%の確率で存在する区間を示します。信頼区間の計算には、残差の標準誤差、t分布の値、およびデータの自由度が必要です。

3. 最終的な答え

具体的な数値計算には、データファイル「en31.txt」が必要となるため、数値を算出して解答を作成することができません。

しかし、上記の手順を踏むことで回帰式を求め、点推定と区間推定を算出できます。

(例)

回帰式: $y = a + bx$

点推定: $y = a + b(2000)$ (具体的なa,bの値が入ります)

90%信頼区間: (下限値, 上限値) (具体的な数値が入ります)