平成16年度の小売店のいくつかの県での年間販売額 $y$ (10億円/年) を売り場面積 $x$ (千m²) で説明する回帰式を求め、その回帰式を用いて、売り場面積が2000千m²のときの販売額について、点推定と信頼係数90%の区間推定を行う。使用するデータは "en31.txt"。

1. 問題の内容

平成16年度の小売店のいくつかの県での年間販売額 $y$ (10億円/年) を売り場面積 $x$ (千m²) で説明する回帰式を求め、その回帰式を用いて、売り場面積が2000千m²のときの販売額について、点推定と信頼係数90%の区間推定を行う。使用するデータは "en31.txt"。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、以下の手順が必要です。

(1) データファイルの読み込みと前処理:

- "en31.txt" ファイルを読み込み、UTF-8 エンコーディングでデコードする。

- データを解析し、売り場面積 $x$ と年間販売額 $y$ のデータを得る。

(2) 回帰式の計算:

- 最小二乗法を用いて、回帰式 $y = a + bx$ の係数 $a$（切片）と $b$（傾き）を計算する。

- $b = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

- $a = \bar{y} - b\bar{x}$

- ここで、$x_i$ と $y_i$ はそれぞれのデータ点、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれの平均値を表す。$n$はデータ点の数。

(3) 点推定:

- 売り場面積 $x = 2000$ 千m² を回帰式に代入し、販売額 $y$ の推定値を計算する。

(4) 区間推定:

- 信頼係数90%の区間推定を行う。そのためには、以下の手順が必要になる。

- 残差の二乗和を計算する: $SSE = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y_i})^2$。ここで、$\hat{y_i}$は回帰式による予測値。

- 不偏分散を計算する: $s^2 = \frac{SSE}{n-2}$

- 標準誤差を計算する: $SE = s\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}}$。ここで、$x_0$は予測したいxの値（この場合は2000)。

- t分布の値を求める: 自由度 $n-2$、信頼係数90%に対応するt値をtテーブルから探すか、または計算ソフトで求める。

- 信頼区間を計算する: $y_0 \pm t \times SE$。ここで、$y_0$は$x=2000$の時の点推定値。

3. 最終的な答え

データファイル"en31.txt"の中身が不明であるため、具体的な数値計算はできません。しかし、上記の手順に従って計算することで、回帰式、点推定値、および90%信頼区間を求めることができます。

例として、もし回帰式が $y = 10 + 0.5x$ と計算された場合、

点推定値は $y = 10 + 0.5 * 2000 = 1010$ (10億円/年) となります。

次に、もし $s=5$, $\bar{x} = 1000$, $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 1000000$, $n=20$だったと仮定した場合、

標準誤差は $SE = 5 \sqrt{1 + \frac{1}{20} + \frac{(2000 - 1000)^2}{1000000}} = 5 \sqrt{1 + 0.05 + 1} = 5 \sqrt{2.05} \approx 7.15$

自由度 $n-2 = 18$、信頼係数90%のt値は約1.734。

信頼区間は $1010 \pm 1.734 \times 7.15 \approx 1010 \pm 12.4$

したがって、信頼区間は (997.6, 1022.4) (10億円/年) となります。

注意: 実際のデータに基づいて計算を行う必要があります。上記はあくまで例です。