* $y \geq 2x - 5$ * $y \leq x - 1$ * $y \geq 0$

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1. 問題の内容

(1) 実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x - 5$, $y \leq x - 1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値、最小値を求めよ。

(2) 座標平面において、2つの不等式 $x^2 + y^2 \leq 4$, $y \leq 2x + 2$ を同時に満たす領域を $A$ とする。点 $(x, y)$ が領域 $A$ を動くとき、$y - x$ の最大値と最小値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### (1)

1. **領域の図示:** まず、与えられた3つの不等式を満たす領域を座標平面上に図示する。

* $y \geq 2x - 5$

* $y \leq x - 1$

* $y \geq 0$

2. **領域の頂点:** 領域の頂点の座標を求める。これは、各直線の交点を計算することで求められる。交点は以下の通り：

* $y = 2x - 5$ と $y = x - 1$ の交点：$2x - 5 = x - 1$ より $x = 4$, $y = 3$ -> (4,3)

* $y = 2x - 5$ と $y = 0$ の交点：$2x - 5 = 0$ より $x = 5/2$, $y = 0$ -> (5/2,0)

* $y = x - 1$ と $y = 0$ の交点：$x - 1 = 0$ より $x = 1$, $y = 0$ -> (1,0)

3. **目的関数の評価:** 目的関数 $k = x^2 + (y - 3)^2$ が、領域内のどの点で最大値・最小値をとるかを考える。$x^2 + (y - 3)^2$ は、点 $(0, 3)$ と点 $(x, y)$ の距離の2乗を表す。領域の頂点と点 $(0, 3)$ との距離の2乗を計算する。

* 点 (4, 3) : $(4 - 0)^2 + (3 - 3)^2 = 16$

* 点 (5/2, 0) : $(5/2 - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 25/4 + 9 = 61/4 = 15.25$

* 点 (1, 0) : $(1 - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 1 + 9 = 10$

4. **最大値・最小値の決定:** 領域内の他の点でも目的関数を評価する必要がある。例えば、$x^2 + (y-3)^2$ が最小となるのは領域内で点$(0,3)$に最も近い点であり、点$(0,3)$が領域に含まれない場合は、頂点のいずれかが最小となる可能性がある。図示すると領域は三角形になり、頂点で最大値・最小値をとることがわかる。

### (2)

1. **領域の図示:** 与えられた2つの不等式を満たす領域を座標平面上に図示する。

* $x^2 + y^2 \leq 4$ (中心 (0, 0), 半径 2 の円の内部)

* $y \leq 2x + 2$ (直線 $y = 2x + 2$ の下側)

2. **目的関数を直線とみなす:** $k = y - x$ とおく。この式を変形すると $y = x + k$ となり、傾き1、y切片 $k$ の直線を表す。

3. **直線の移動:** 直線 $y = x + k$ を領域 $A$ と交わるように動かし、$k$ (y切片) が最大・最小となる場合を探す。

4. **接点または交点の検討:** 最大値・最小値は、直線が円と接する場合、または直線が円と直線 $y = 2x + 2$ の交点を通る場合に起こる。

* **接する場合:** 直線 $y = x + k$ と円 $x^2 + y^2 = 4$ が接する条件は、円の中心 (0, 0) と直線 $x - y + k = 0$ との距離が半径 2 に等しいことである。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|0 - 0 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 2$

$|k| = 2\sqrt{2}$

$k = \pm 2\sqrt{2}$

$k$ が最大となるのは $k = 2\sqrt{2}$ (このとき接点は領域内にある)。最小となるのは $k = -2\sqrt{2}$（このとき接点は領域外にあるので不適）。

* **交点の場合:** 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = 2x + 2$ の交点を求める。

$x^2 + (2x + 2)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 + 8x + 4 = 4$

$5x^2 + 8x = 0$

$x(5x + 8) = 0$

$x = 0$ または $x = -8/5$

$x = 0$ のとき $y = 2$. このとき $k = y - x = 2 - 0 = 2$.

$x = -8/5$ のとき $y = 2(-8/5) + 2 = -16/5 + 10/5 = -6/5$. このとき $k = y - x = -6/5 - (-8/5) = 2/5$.

5. **最大値・最小値の決定:** 求めた $k$ の値を比較する。

* $2\sqrt{2} \approx 2.83$

* $2$

* $2/5 = 0.4$

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3. 最終的な答え

### (1)

* 最大値: $16$

* 最小値: $10$

### (2)

* 最大値: $2\sqrt{2}$

* 最小値: $2/5$