与えられたマクロ経済モデルにおいて、以下の3つの問いに答える問題です。 * 1-1: $G=100$, $T=100$ の場合の均衡GDP ($Y^*$) と均衡利子率 ($i^*$) を求める。 * 1-2: 均衡財政 ($G=T$) を維持しながら、$Y^*$ を 1-1 の水準から 50 増やすには名目貨幣量をどれだけ増加させる必要があるかを求める。また、その時の $i$ を求める。 * 1-3: 1-1 で求めた $i^*$ を維持したまま、均衡財政を維持しながら $Y^*$ を 1-1 の水準から 50 増やすために必要な財政支出 ($G$) と名目貨幣量 ($L$) を求める。

1. 問題の内容

与えられたマクロ経済モデルにおいて、以下の3つの問いに答える問題です。

* 1-1: $G=100$, $T=100$ の場合の均衡GDP ($Y^*$) と均衡利子率 ($i^*$) を求める。

* 1-2: 均衡財政 ($G=T$) を維持しながら、$Y^*$ を 1-1 の水準から 50 増やすには名目貨幣量をどれだけ増加させる必要があるかを求める。また、その時の $i$ を求める。

* 1-3: 1-1 で求めた $i^*$ を維持したまま、均衡財政を維持しながら $Y^*$ を 1-1 の水準から 50 増やすために必要な財政支出 ($G$) と名目貨幣量 ($L$) を求める。

2. 解き方の手順

1-1: 均衡GDP ($Y^*$) と均衡利子率 ($i^*$) を求める。

* 財市場の均衡条件: $Y = C + I + G$

* 消費関数: $C = 0.7(Y - T) + 40$

* 投資関数: $I = 20 + \frac{3}{5i}$

* $G = 100$, $T = 100$ を代入して、$Y$ と $i$ の関係式を求める。

$Y = 0.7(Y - 100) + 40 + 20 + \frac{3}{5i} + 100$

$Y = 0.7Y - 70 + 40 + 20 + \frac{3}{5i} + 100$

$0.3Y = 90 + \frac{3}{5i}$

$Y = 300 + \frac{10}{i}$

* 名目貨幣市場の均衡条件: $L = (\frac{Y}{2} + \frac{2}{i})P$

* $L = 800$, $P = 1$ を代入する。

$800 = \frac{Y}{2} + \frac{2}{i}$

$1600 = Y + \frac{4}{i}$

$Y = 1600 - \frac{4}{i}$

* 上記2つの$Y$の方程式を連立して解く。

$300 + \frac{10}{i} = 1600 - \frac{4}{i}$

$\frac{14}{i} = 1300$

$i^* = \frac{14}{1300} = \frac{7}{650} \approx 0.01077$

$Y^* = 1600 - \frac{4}{i^*} = 1600 - \frac{4 \times 650}{7} = 1600 - \frac{2600}{7} = \frac{11200 - 2600}{7} = \frac{8600}{7} \approx 1228.57$

1-2: $G = T$ を維持し、$Y^*$ を 50 増やすために必要な名目貨幣量の増加を求める。また、その時の $i$ を求める。

* $Y' = Y^* + 50 = \frac{8600}{7} + 50 = \frac{8600 + 350}{7} = \frac{8950}{7}$

* $Y = 300 + \frac{10}{i} + G - T = 300 + \frac{10}{i} + 0$ （均衡財政なので、$G-T = 0$）

$Y = 300 + \frac{10}{i}$

$Y' = 300 + \frac{10}{i}$

$\frac{8950}{7} = 300 + \frac{10}{i}$

$\frac{10}{i} = \frac{8950}{7} - 300 = \frac{8950 - 2100}{7} = \frac{6850}{7}$

$i' = \frac{70}{6850} = \frac{7}{685} \approx 0.01022$

* $L' = (\frac{Y'}{2} + \frac{2}{i'})P$

$L' = (\frac{8950}{14} + \frac{2 \times 685}{7}) = (\frac{8950}{14} + \frac{2740}{7}) = (\frac{8950 + 5480}{14}) = \frac{14430}{14} = \frac{7215}{7} \approx 1030.71$

* 必要な名目貨幣量の増加 = $L' - L = \frac{7215}{7} - 800 = \frac{7215 - 5600}{7} = \frac{1615}{7} \approx 230.71$

1-3: $i^*$ を維持したまま、$G = T$ を維持しながら、$Y^*$ を 50 増やすために必要な財政支出 ($G$) と名目貨幣量 ($L$) を求める。

* $i^* = \frac{7}{650}$

* $Y' = Y^* + 50 = \frac{8600}{7} + 50 = \frac{8950}{7}$

* $Y' = 0.7(Y' - T) + 40 + 20 + \frac{3}{5i^*} + G$

$\frac{8950}{7} = 0.7(\frac{8950}{7} - G) + 60 + \frac{3 \times 650}{5 \times 7} + G$

$\frac{8950}{7} = 0.7(\frac{8950}{7} - G) + 60 + \frac{390}{7} + G$

$\frac{8950}{7} = \frac{0.7 \times 8950}{7} - 0.7G + 60 + \frac{390}{7} + G$

$\frac{8950 - 390}{7} - 60 - \frac{0.7 \times 8950}{7} = 0.3G$

$\frac{8560 - 420}{7} - \frac{6265}{7} = 0.3G$

$\frac{8140 - 6265}{7} = 0.3G$

$\frac{1875}{7} = 0.3G$

$G = \frac{1875}{7 \times 0.3} = \frac{18750}{21} = \frac{6250}{7} \approx 892.86$

$L' = (\frac{Y'}{2} + \frac{2}{i^*})P$

$L' = (\frac{8950}{14} + \frac{2 \times 650}{7}) = (\frac{8950}{14} + \frac{1300}{7}) = \frac{8950 + 2600}{14} = \frac{11550}{14} = \frac{5775}{7} \approx 825$

3. 最終的な答え

* 1-1: $Y^* = \frac{8600}{7} \approx 1228.57$, $i^* = \frac{7}{650} \approx 0.01077$

* 1-2: 名目貨幣量の増加 = $\frac{1615}{7} \approx 230.71$, $i' = \frac{7}{685} \approx 0.01022$

* 1-3: $G = \frac{6250}{7} \approx 892.86$, $L = \frac{5775}{7} = 825$