逆さまにした四角錐の容器に水を注ぐとき、水の深さが2cmになった瞬間の水面の上昇速度を求める問題です。容器の深さが4cmのときの水平断面は一辺3cmの正方形で、9 cm³/sの割合で水を注ぎます。

1. 問題の内容

逆さまにした四角錐の容器に水を注ぐとき、水の深さが2cmになった瞬間の水面の上昇速度を求める問題です。容器の深さが4cmのときの水平断面は一辺3cmの正方形で、9 cm³/sの割合で水を注ぎます。

2. 解き方の手順

まず、水の深さ $h$ (cm) のときの水面の正方形の一辺の長さを $x$ (cm) とします。相似の関係から、$x$ は $h$ に比例します。

$x/h = 3/4$

よって、$x = \frac{3}{4}h$ となります。

次に、深さ $h$ のときの水の体積 $V$ を求めます。これは、底面が $x \times x = (\frac{3}{4}h)^2$、高さが $h$ の四角錐の体積に等しいので、

$V = \frac{1}{3} \times (\frac{3}{4}h)^2 \times h = \frac{1}{3} \times \frac{9}{16}h^3 = \frac{3}{16}h^3$

となります。

体積 $V$ の時間 $t$ による変化率 $dV/dt$ は、$dV/dt = 9$ (cm³/s) と与えられています。

$V = \frac{3}{16}h^3$ の両辺を $t$ で微分すると、

$\frac{dV}{dt} = \frac{3}{16} \times 3h^2 \times \frac{dh}{dt} = \frac{9}{16}h^2 \frac{dh}{dt}$

となります。

$dV/dt = 9$ を代入して、

$9 = \frac{9}{16}h^2 \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{16}{h^2}$

となります。

$h = 2$ cm のとき、水の深さの上昇速度 $dh/dt$ は、

$\frac{dh}{dt} = \frac{16}{2^2} = \frac{16}{4} = 4$ (cm/s)

となります。

3. 最終的な答え

4 cm/s