ベクトル $\vec{r} = xi + yj + zk$ と、その大きさ $|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたとき、$\text{rot}(|r|^n \vec{r}) = \vec{0}$ を証明する。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{r} = xi + yj + zk$ と、その大きさ $|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたとき、$\text{rot}(|r|^n \vec{r}) = \vec{0}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、回転（rot）の定義を確認する。ベクトル場 $\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k$ に対して、その回転は、

$\text{rot} \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) i + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) j + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) k$

である。

次に、$\vec{B} = |r|^n \vec{r}$ を計算する。

$\vec{B} = |r|^n (xi + yj + zk) = |r|^n x i + |r|^n y j + |r|^n z k$

したがって、$B_x = |r|^n x$, $B_y = |r|^n y$, $B_z = |r|^n z$ である。

$\text{rot} \vec{B}$ の各成分を計算する。

$\frac{\partial B_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (|r|^n z) = z \frac{\partial}{\partial y} (|r|^n) = z \cdot n |r|^{n-1} \frac{\partial |r|}{\partial y}$

ここで、$\frac{\partial |r|}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{|r|}$ だから、

$\frac{\partial B_z}{\partial y} = z \cdot n |r|^{n-1} \frac{y}{|r|} = n yz |r|^{n-2}$

同様に、

$\frac{\partial B_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (|r|^n y) = y \frac{\partial}{\partial z} (|r|^n) = y \cdot n |r|^{n-1} \frac{\partial |r|}{\partial z}$

$\frac{\partial |r|}{\partial z} = \frac{z}{|r|}$ より、

$\frac{\partial B_y}{\partial z} = y \cdot n |r|^{n-1} \frac{z}{|r|} = n yz |r|^{n-2}$

よって、$\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = n yz |r|^{n-2} - n yz |r|^{n-2} = 0$

同様に計算すると、

$\frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = 0$

したがって、$\text{rot} \vec{B} = 0 i + 0 j + 0 k = \vec{0}$

3. 最終的な答え

$\text{rot}(|r|^n \vec{r}) = \vec{0}$