ベクトル $x$ と $x'$ が与えられたとき、以下の量を求めます。 * 内積 $(x, x')$ * ベクトルの長さ $||x||$, $||x'||$ * $x$ と $x'$ のなす角 $\theta$ に対する $\cos \theta$ * $x$ と $x'$ が張る平行四辺形の面積 * 外積 $x \times x'$ 問題は２つあります。 (1) $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix}$ (2) $x = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

ベクトル $x$ と $x'$ が与えられたとき、以下の量を求めます。

* 内積 $(x, x')$

* ベクトルの長さ $||x||$, $||x'||$

* $x$ と $x'$ のなす角 $\theta$ に対する $\cos \theta$

* $x$ と $x'$ が張る平行四辺形の面積

* 外積 $x \times x'$

問題は２つあります。

(1) $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -6 \end{pmatrix}$

(2) $x = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $x' = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

* 内積: $(x, x') = (3)(4) + (2)(5) + (-1)(-6) = 12 + 10 + 6 = 28$

* ベクトルの長さ:

$||x|| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

$||x'|| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77}$

* $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{(x, x')}{||x|| \cdot ||x'||} = \frac{28}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{28}{\sqrt{1078}} = \frac{28}{\sqrt{14 \cdot 7 \cdot 11}} = \frac{28}{\sqrt{14 \cdot 77}} = \frac{28}{7\sqrt{22}} = \frac{4}{\sqrt{22}} = \frac{4\sqrt{22}}{22} = \frac{2\sqrt{22}}{11}$

* 平行四辺形の面積:

面積 $= ||x|| \cdot ||x'|| \cdot \sin \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{2\sqrt{22}}{11})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 22}{121} = 1 - \frac{88}{121} = \frac{33}{121} = \frac{3}{11}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{3}{11}} = \frac{\sqrt{33}}{11}$

面積 $= \sqrt{14} \cdot \sqrt{77} \cdot \frac{\sqrt{33}}{11} = \sqrt{1078} \cdot \frac{\sqrt{33}}{11} = 7 \sqrt{22} \cdot \frac{\sqrt{33}}{11} = 7\sqrt{2 \cdot 11} \cdot \frac{\sqrt{3 \cdot 11}}{11} = \frac{7 \cdot 11 \sqrt{6}}{11} = 7\sqrt{6}$

もう一つの解法：

$||x \times x'|| = ||x|| ||x'|| \sin \theta$

$x \times x' = \begin{pmatrix} (2)(-6) - (-1)(5) \\ (-1)(4) - (3)(-6) \\ (3)(5) - (2)(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 5 \\ -4 + 18 \\ 15 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ 7 \end{pmatrix}$

$||x \times x'|| = \sqrt{(-7)^2 + 14^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 196 + 49} = \sqrt{294} = \sqrt{49 \cdot 6} = 7\sqrt{6}$

* 外積:

$x \times x' = \begin{pmatrix} (2)(-6) - (-1)(5) \\ (-1)(4) - (3)(-6) \\ (3)(5) - (2)(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 5 \\ -4 + 18 \\ 15 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ 7 \end{pmatrix}$

(2)

* 内積: $(x, x') = (2)(2) + (-2)(3) + (1)(2) = 4 - 6 + 2 = 0$

* ベクトルの長さ:

$||x|| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$||x'|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

* $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{(x, x')}{||x|| \cdot ||x'||} = \frac{0}{3 \cdot \sqrt{17}} = 0$

* 平行四辺形の面積:

$\cos \theta = 0$ なので、 $\theta = \frac{\pi}{2}$. よって $\sin \theta = 1$

面積 $= ||x|| \cdot ||x'|| \cdot \sin \theta = 3 \cdot \sqrt{17} \cdot 1 = 3\sqrt{17}$

* 外積:

$x \times x' = \begin{pmatrix} (-2)(2) - (1)(3) \\ (1)(2) - (2)(2) \\ (2)(3) - (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 3 \\ 2 - 4 \\ 6 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}$

$||x \times x'|| = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + 10^2} = \sqrt{49 + 4 + 100} = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$

3. 最終的な答え

(1)

内積: $(x, x') = 28$

ベクトルの長さ: $||x|| = \sqrt{14}$, $||x'|| = \sqrt{77}$

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{22}}{11}$

平行四辺形の面積: $7\sqrt{6}$

外積: $x \times x' = \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ 7 \end{pmatrix}$

(2)

内積: $(x, x') = 0$

ベクトルの長さ: $||x|| = 3$, $||x'|| = \sqrt{17}$

$\cos \theta = 0$

平行四辺形の面積: $3\sqrt{17}$

外積: $x \times x' = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}$