一辺の長さが $2a$ $(a>0)$ の正三角形から、斜線を引いた四角形を切り取り、底面が正三角形のフタのない容器を作る。この容器の容積を $V$ とおく。 (1) 容器の底面の正三角形の1辺の長さと容器の高さを $x$ で表せ。 (2) $x$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $V$ を $x$ で表し、$V$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $2a$ $(a>0)$ の正三角形から、斜線を引いた四角形を切り取り、底面が正三角形のフタのない容器を作る。この容器の容積を $V$ とおく。

(1) 容器の底面の正三角形の1辺の長さと容器の高さを $x$ で表せ。

(2) $x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $V$ を $x$ で表し、$V$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

容器の底面の正三角形の一辺の長さは、$2a$ から両端の $x$ を2つ引いたものなので、$2a - 2x$ となる。

容器の高さは、$x$ と同じである。

(2)

$x$ は長さなので $x > 0$ である。また、底面の正三角形の一辺の長さ $2a-2x$ も長さなので正である。したがって、$2a - 2x > 0$ より、$2a > 2x$ であり、$a > x$。

よって、$0 < x < a$。

(3)

容器の体積 $V$ は、底面積 $\times$ 高さで求められる。

底面積は、一辺の長さが $2a - 2x$ の正三角形なので、

$\frac{\sqrt{3}}{4} (2a - 2x)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4(a - x)^2 = \sqrt{3}(a - x)^2$

したがって、$V = \sqrt{3} (a - x)^2 x = \sqrt{3} (a^2 - 2ax + x^2)x = \sqrt{3}(x^3 - 2ax^2 + a^2 x)$

$V$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dV}{dx} = \sqrt{3}(3x^2 - 4ax + a^2) = \sqrt{3}(3x - a)(x - a)$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となるのは、$x = \frac{a}{3}, a$

$0 < x < a$ なので、 $x = \frac{a}{3}$ を考える。

$0 < x < \frac{a}{3}$ のとき $\frac{dV}{dx} > 0$

$\frac{a}{3} < x < a$ のとき $\frac{dV}{dx} < 0$

したがって、$x = \frac{a}{3}$ で $V$ は最大値をとる。

$V$ の最大値は、

$V = \sqrt{3} (\frac{a^3}{27} - 2a \frac{a^2}{9} + a^2 \frac{a}{3}) = \sqrt{3} (\frac{a^3}{27} - \frac{2a^3}{9} + \frac{a^3}{3}) = \sqrt{3} (\frac{a^3 - 6a^3 + 9a^3}{27}) = \sqrt{3} \frac{4a^3}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 容器の底面の正三角形の一辺の長さ: $2a - 2x$

容器の高さ: $x$

(2) $x$ のとりうる値の範囲: $0 < x < a$

(3) $V = \sqrt{3}(x^3 - 2ax^2 + a^2 x)$

$V$ の最大値: $\frac{4\sqrt{3}a^3}{27}$

そのときの $x$ の値: $\frac{a}{3}$