$R^2$の零でないベクトル$w$で生成される部分空間（原点を通る直線）を$L$とする。$R^2$の1次変換$\varphi$が $\varphi(v) = -v + 2\frac{(v, w)}{\|w\|^2}w$ で定義される。 (1) $\varphi$は$L$に関する折り返し（鏡映）変換であることを示せ。 (2) $\varphi$の、$R^2$の標準基底に関する表現行列を求め、それが直交行列になっていることを確かめよ。

1. 問題の内容

$R^2$の零でないベクトル$w$で生成される部分空間（原点を通る直線）を$L$とする。$R^2$の1次変換$\varphi$が

$\varphi(v) = -v + 2\frac{(v, w)}{\|w\|^2}w$

で定義される。

(1) $\varphi$は$L$に関する折り返し（鏡映）変換であることを示せ。

(2) $\varphi$の、$R^2$の標準基底に関する表現行列を求め、それが直交行列になっていることを確かめよ。

2. 解き方の手順

(1) $\varphi$が$L$に関する折り返し変換であることを示す。

$L$上のベクトル$w$と、$L$に垂直なベクトル$u$を考える。このとき、$v = w$のとき$\varphi(w) = w$となり、$v = u$のとき$\varphi(u) = -u$となればよい。

まず、$v = w$のとき、

$\varphi(w) = -w + 2\frac{(w, w)}{\|w\|^2}w = -w + 2\frac{\|w\|^2}{\|w\|^2}w = -w + 2w = w$

次に、$v = u$で$u$が$w$に垂直なとき、$(u, w) = 0$だから、

$\varphi(u) = -u + 2\frac{(u, w)}{\|w\|^2}w = -u + 2\frac{0}{\|w\|^2}w = -u$

したがって、$\varphi$は$L$に関する折り返し変換である。

(2) $\varphi$の、$R^2$の標準基底に関する表現行列を求め、それが直交行列であることを確かめる。

標準基底を$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$とする。

$w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}$とすると、$\|w\|^2 = w_1^2 + w_2^2$。

$\varphi(e_1) = -e_1 + 2\frac{(e_1, w)}{\|w\|^2}w = -e_1 + 2\frac{w_1}{w_1^2 + w_2^2}w = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\frac{w_1}{w_1^2 + w_2^2}\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + \frac{2w_1^2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{w_1^2 - w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix}$

$\varphi(e_2) = -e_2 + 2\frac{(e_2, w)}{\|w\|^2}w = -e_2 + 2\frac{w_2}{w_1^2 + w_2^2}w = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 2\frac{w_2}{w_1^2 + w_2^2}\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \\ -1 + \frac{2w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{-w_1^2 + w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix}$

したがって、表現行列$A$は、

$A = \begin{pmatrix} \frac{w_1^2 - w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{-w_1^2 + w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix}$

$A$が直交行列であること、すなわち$A^T A = I$を示す。

$A^T = \begin{pmatrix} \frac{w_1^2 - w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{-w_1^2 + w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix} = A$

$A^2 = \begin{pmatrix} \frac{w_1^2 - w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{-w_1^2 + w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{w_1^2 - w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{-w_1^2 + w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{(w_1^2 - w_2^2)^2 + (2w_1w_2)^2}{(w_1^2 + w_2^2)^2} & \frac{(w_1^2 - w_2^2)(2w_1w_2) + (2w_1w_2)(-w_1^2 + w_2^2)}{(w_1^2 + w_2^2)^2} \\ \frac{(2w_1w_2)(w_1^2 - w_2^2) + (-w_1^2 + w_2^2)(2w_1w_2)}{(w_1^2 + w_2^2)^2} & \frac{(2w_1w_2)^2 + (-w_1^2 + w_2^2)^2}{(w_1^2 + w_2^2)^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{(w_1^2 + w_2^2)^2}{(w_1^2 + w_2^2)^2} & 0 \\ 0 & \frac{(w_1^2 + w_2^2)^2}{(w_1^2 + w_2^2)^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

したがって、$A$は直交行列である。

3. 最終的な答え

(1) $\varphi$は$L$に関する折り返し変換である。

(2) 表現行列は

$\begin{pmatrix} \frac{w_1^2 - w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} \\ \frac{2w_1w_2}{w_1^2 + w_2^2} & \frac{-w_1^2 + w_2^2}{w_1^2 + w_2^2} \end{pmatrix}$

であり、これは直交行列である。