(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。 (2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。 (3) 次の連立一次方程式の解を全て求めよ。 $ \begin{cases} x + y + z + w = 15 \\ 2x + y + 2z + w = 23 \\ 2x + z + w = 13 \\ x + y + 2z = 18 \end{cases} $

1. 問題の内容

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

(3) 次の連立一次方程式の解を全て求めよ。

$$

\begin{cases}

x + y + z + w = 15 \\

2x + y + 2z + w = 23 \\

2x + z + w = 13 \\

x + y + 2z = 18

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

まず、行列式 $\det(A) = 7 \cdot 8 - 4 \cdot 5 = 56 - 20 = 36$ を計算する。

次に、余因子行列を求める。

$\begin{pmatrix} 8 & -4 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ -5 & 7 \end{pmatrix} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ -5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/9 & -1/9 \\ -5/36 & 7/36 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

まず、行列式 $\det(A) = 2(2 \cdot 7 - 2 \cdot 2) - 1(0 \cdot 7 - 2 \cdot 4) + 3(0 \cdot 2 - 2 \cdot 4) = 2(14 - 4) - (-8) + 3(-8) = 20 + 8 - 24 = 4$ を計算する。

次に、余因子行列を求める。

$C = \begin{pmatrix} 10 & 8 & -8 \\ -1 & 2 & 0 \\ -4 & -4 & 4 \end{pmatrix}$

転置行列は $C^T = \begin{pmatrix} 10 & -1 & -4 \\ 8 & 2 & -4 \\ -8 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 10 & -1 & -4 \\ 8 & 2 & -4 \\ -8 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/2 & -1/4 & -1 \\ 2 & 1/2 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 連立一次方程式を解く。

$$

\begin{cases}

x + y + z + w = 15 \\

2x + y + 2z + w = 23 \\

2x + z + w = 13 \\

x + y + 2z = 18

\end{cases}

$$

(2) - (1): $x + z = 8$

(3) から $2x + z + w = 13$ なので、$w = 13 - 2x - z = 13 - 2x - (8 - x) = 5 - x$

(1) から $y = 15 - x - z - w = 15 - x - (8 - x) - (5 - x) = 15 - 8 - 5 + x = 2 + x$

(4) に代入して $x + (2 + x) + 2(8 - x) = 18$, よって $x + 2 + x + 16 - 2x = 18$ すなわち $18 = 18$ となり、$x$ は任意の値を取る。

解は $x = k$, $y = 2 + k$, $z = 8 - k$, $w = 5 - k$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/9 & -1/9 \\ -5/36 & 7/36 \end{pmatrix}$

(2) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/2 & -1/4 & -1 \\ 2 & 1/2 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $x = k$, $y = 2 + k$, $z = 8 - k$, $w = 5 - k$ （$k$ は任意の実数）