関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数がもとの関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数がもとの関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ の逆関数を求め、それが元の関数と一致するという条件から、$a$ の値を求めます。

まず、与えられた関数を $x$ について解きます。

$y = \frac{ax + 1}{x + 2}$ より、

$y(x + 2) = ax + 1$

$yx + 2y = ax + 1$

$yx - ax = 1 - 2y$

$x(y - a) = 1 - 2y$

$x = \frac{1 - 2y}{y - a}$

次に、$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数を求めます。

$y = \frac{1 - 2x}{x - a}$

この逆関数が元の関数と一致するので、

$\frac{ax + 1}{x + 2} = \frac{1 - 2x}{x - a}$

この式が恒等的に成り立つ条件を求めます。

$(ax + 1)(x - a) = (1 - 2x)(x + 2)$

$ax^2 - a^2x + x - a = x + 2 - 2x^2 - 4x$

$ax^2 - a^2x + x - a = -2x^2 - 3x + 2$

$(a + 2)x^2 + (3 - a^2 + 1)x - a - 2 = 0$

$(a + 2)x^2 + (4 - a^2)x - (a + 2) = 0$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、各係数が0でなければなりません。

$a + 2 = 0$

$4 - a^2 = 0$

$a + 2 = 0$ より、

$a = -2$

$4 - a^2 = 0$ より、

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

どちらの式も満たすのは $a = -2$ です。

3. 最終的な答え

$a = -2$