2次方程式 $x^2 - kx - k + 8 = 0$ が異なる2つの正の実数解をもつような、$k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - kx - k + 8 = 0$ が異なる2つの正の実数解をもつような、$k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ であることです。

また、2つの解がともに正である条件は、

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 解の和 $> 0$

(3) 解の積 $> 0$

の3つが成り立つことです。

与えられた2次方程式 $x^2 - kx - k + 8 = 0$ について、

$a = 1$, $b = -k$, $c = -k + 8$ なので、

(1) 判別式 $D > 0$ を求めます。

$D = (-k)^2 - 4(1)(-k + 8) = k^2 + 4k - 32 > 0$

$(k + 8)(k - 4) > 0$

よって、$k < -8$ または $k > 4$

(2) 解の和 $> 0$ を求めます。

解の和は $-\frac{b}{a} = -\frac{-k}{1} = k > 0$

よって、$k > 0$

(3) 解の積 $> 0$ を求めます。

解の積は $\frac{c}{a} = \frac{-k + 8}{1} = -k + 8 > 0$

よって、$k < 8$

(1), (2), (3) の条件をすべて満たす $k$ の範囲を求めます。

$k < -8$ または $k > 4$

$k > 0$

$k < 8$

したがって、$4 < k < 8$ となります。

3. 最終的な答え

$4 < k < 8$