関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数を求める。

$y = \frac{2x+1}{x-p}$ を $x$ について解く。

$y(x-p) = 2x+1$

$yx - yp = 2x + 1$

$yx - 2x = yp + 1$

$x(y-2) = yp + 1$

$x = \frac{yp+1}{y-2}$

したがって、逆関数は $y = \frac{xp+1}{x-2}$ となる。

問題文より、元の関数と逆関数が一致するので、

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{xp+1}{x-2}$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、係数を比較すればよい。

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$

分母を払うと、

$(2x+1)(x-2) = (x-p)(px+1)$

$2x^2 - 4x + x - 2 = px^2 + x - p^2x - p$

$2x^2 - 3x - 2 = px^2 + (1-p^2)x - p$

両辺の係数を比較すると、

$x^2$ の係数: $2 = p$

$x$ の係数: $-3 = 1 - p^2$

定数項: $-2 = -p$

$p=2$ より、$x$の係数を満たすか確認する。

$1-p^2 = 1 - 2^2 = 1-4 = -3$

したがって、$p=2$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

$p = 2$