不等式 $a^2 + b^2 \geq ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + b^2 \geq ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 + b^2 \geq ab$ を変形して、証明しやすい形にする。

$a^2 + b^2 - ab \geq 0$ を示すことを考える。

左辺を変形する。

$a^2 + b^2 - ab = a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2 + \frac{3}{4}b^2 = (a - \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$

$(a - \frac{1}{2}b)^2$ は実数の二乗なので、常に0以上である。また、$\frac{3}{4}b^2$ も実数の二乗に正の係数がかかっているので、常に0以上である。したがって、$(a - \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(a - \frac{1}{2}b)^2 = 0$ かつ $\frac{3}{4}b^2 = 0$ のときである。

$\frac{3}{4}b^2 = 0$ より、$b=0$。

$a - \frac{1}{2}b = 0$ に $b=0$ を代入すると、$a = 0$ となる。

したがって、$a=0$ かつ $b=0$ のとき、等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 + b^2 \geq ab$ は証明された。等号が成り立つのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ のときである。