与えられた5x5の行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5の行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列の置換を繰り返して単位行列に変形し、置換の回数から行列式を求めます。

元の行列:

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える (1回):

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}$

2行目と5行目を入れ替える (2回):

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 0

\end{vmatrix}$

4行目と5行目を入れ替える (3回):

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1

\end{vmatrix}$

単位行列になったので、置換の回数は3回です。行列式は$(-1)^{\text{置換回数}}$で計算できるため、行列式は$(-1)^3 = -1$となります。

3. 最終的な答え

-1