$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。行列 $A$ とベクトル $b$ が $A = (0 \ p_1 \ -2p_1 \ p_2)$、$b = 3p_1 + p_2$ で与えられたとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示 $x = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$ が正しいかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。行列 $A$ とベクトル $b$ が $A = (0 \ p_1 \ -2p_1 \ p_2)$、$b = 3p_1 + p_2$ で与えられたとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示

$x = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

が正しいかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ と $x$ の定義から $Ax$ を計算します。

$A = (0 \ p_1 \ -2p_1 \ p_2)$ を $4 \times 4$ 行列と解釈すると、問題文の条件より、

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。

$x$ のパラメータ表示は、

$x = \begin{pmatrix} -1 + p - q \\ 5 + 2q \\ 1 + q \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、

$Ax = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 + p - q \\ 5 + 2q \\ 1 + q \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (5 + 2q) - 2(1 + q) \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

一方、$b = 3p_1 + p_2$ より、$b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、$Ax = b$ を満たします。

3. 最終的な答え

正しい