与えられた2つの直線 $y=x+4$ と $y=-2x+10$ のグラフに関する以下の問題を解きます。 (1) 直線 $y=-2x+10$ と $x$ 軸との交点Bと、$y$ 軸との交点Cの座標を求めます。 (2) 2直線の交点Dの座標を求めます。 (3) 三角形ABDの面積を求めます。 (4) 点Dを通り、傾き2の直線の方程式を求めます。 (5) (4)で求めた直線と $x$ 軸との交点をEとするとき、三角形AEDと三角形EBDの面積の比を求めます。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた2つの直線 $y=x+4$ と $y=-2x+10$ のグラフに関する以下の問題を解きます。

(1) 直線 $y=-2x+10$ と $x$ 軸との交点Bと、$y$ 軸との交点Cの座標を求めます。

(2) 2直線の交点Dの座標を求めます。

(3) 三角形ABDの面積を求めます。

(4) 点Dを通り、傾き2の直線の方程式を求めます。

(5) (4)で求めた直線と $x$ 軸との交点をEとするとき、三角形AEDと三角形EBDの面積の比を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点B, Cの座標を求める。

点Bは直線② $y = -2x + 10$ と $x$ 軸との交点なので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = -2x + 10$

$2x = 10$

$x = 5$

よって、点Bの座標は $(5, 0)$。

点Cは直線② $y = -2x + 10$ と $y$ 軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると、

$y = -2(0) + 10$

$y = 10$

よって、点Cの座標は $(0, 10)$。

(2) 点Dの座標を求める。

点Dは直線① $y = x + 4$ と直線② $y = -2x + 10$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$y = x + 4$

$y = -2x + 10$

$x + 4 = -2x + 10$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2 + 4 = 6$

よって、点Dの座標は $(2, 6)$。

(3) $\triangle ABD$ の面積を求める。

まず、点Aの座標を求めます。点Aは直線① $y = x + 4$ と $x$ 軸との交点なので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = x + 4$

$x = -4$

よって、点Aの座標は $(-4, 0)$。

$\triangle ABD$ の底辺をABとすると、ABの長さは $5 - (-4) = 9$。

高さは点Dのy座標である6。

したがって、$\triangle ABD$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$

(4) 点Dを通り、傾き2の直線の方程式を求める。

求める直線の方程式を $y = 2x + b$ とおき、点D $(2, 6)$ を通るので代入すると、

$6 = 2(2) + b$

$6 = 4 + b$

$b = 2$

よって、求める直線の方程式は $y = 2x + 2$。

(5) 直線 $y = 2x + 2$ と $x$ 軸との交点をEとするとき、$\triangle AED$ と $\triangle EBD$ の面積の比を求める。

点Eは直線 $y = 2x + 2$ と $x$ 軸との交点なので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = 2x + 2$

$2x = -2$

$x = -1$

よって、点Eの座標は $(-1, 0)$。

$\triangle AED$ と $\triangle EBD$ の面積の比は、底辺AEとEBの長さの比に等しい。

AEの長さは $-1 - (-4) = 3$。

EBの長さは $5 - (-1) = 6$。

したがって、$\triangle AED : \triangle EBD = 3 : 6 = 1 : 2$。

3. 最終的な答え

(1) B(5, 0), C(0, 10)

(2) D(2, 6)

(3) 27

(4) $y = 2x + 2$

(5) 1 : 2