三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{7}$, $CA = \sqrt{21}$, $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{7}$, $CA = \sqrt{21}$, $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の面積を求める公式：

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

ここで、$b$はCAの長さ、$c$はABの長さ、そして$A$はその間の角です。

それぞれの値を代入します。

$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{21} \times 2\sqrt{7} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

計算を続けます。

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3 \times 7} \times \sqrt{7} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \sqrt{3} \times \sqrt{7} \times \sqrt{7} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times 7$

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 7$

$S = \frac{21}{2}$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は$\frac{21}{2}$です。