3点 O(0,0), A(5,-2), B(-1,4) が与えられたとき、以下のものを求める問題です。 (1) 直線ABの方程式 (2) 線分ABの長さ (3) 原点Oと直線ABの間の距離 (4) 三角形OABの面積

1. 問題の内容

3点 O(0,0), A(5,-2), B(-1,4) が与えられたとき、以下のものを求める問題です。

(1) 直線ABの方程式

(2) 線分ABの長さ

(3) 原点Oと直線ABの間の距離

(4) 三角形OABの面積

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式

直線ABの傾きは、$\frac{4 - (-2)}{-1 - 5} = \frac{6}{-6} = -1$

直線ABは点A(5,-2)を通るので、

$y - (-2) = -1(x - 5)$

$y + 2 = -x + 5$

$y = -x + 3$

よって、直線ABの方程式は、$x + y - 3 = 0$

(2) 線分ABの長さ

線分ABの長さは、

$AB = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

(3) 原点Oと直線ABの間の距離

点(x1, y1)と直線ax + by + c = 0 の距離dは、

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

原点O(0,0)と直線$x + y - 3 = 0$の距離dは、

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

(4) 三角形OABの面積

三角形OABの面積は、

$S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$

$S = \frac{1}{2} |5 \cdot 4 - (-1) \cdot (-2)| = \frac{1}{2} |20 - 2| = \frac{1}{2} |18| = 9$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの方程式：$x + y - 3 = 0$

(2) 線分ABの長さ：$6\sqrt{2}$

(3) 原点Oと直線ABの間の距離：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

(4) 三角形OABの面積：9