(2) 2つの直線 $(a-2)x + ay + 2 = 0$ と $x + (a-2)y + 1 = 0$ について、次の問いに答えます。 * ① この2つの直線が平行になるときの $a$ の値を求めます。 * ② この2つの直線が垂直になるときの $a$ の値を求めます。 (3) $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接し、点 $A(-4, 2)$ を通る円の方程式を求めます。 (4) 円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$ の周上の点 $A(4, 6)$ における接線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(2) 2つの直線 $(a-2)x + ay + 2 = 0$ と $x + (a-2)y + 1 = 0$ について、次の問いに答えます。

* ① この2つの直線が平行になるときの $a$ の値を求めます。

* ② この2つの直線が垂直になるときの $a$ の値を求めます。

(3) $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接し、点 $A(-4, 2)$ を通る円の方程式を求めます。

(4) 円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$ の周上の点 $A(4, 6)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

* ① 2つの直線が平行になる条件は、傾きが等しいことです。それぞれの直線の傾きを求めます。

1つ目の直線は $ay = -(a-2)x - 2$ より、$y = -\frac{a-2}{a}x - \frac{2}{a}$ なので、傾きは $-\frac{a-2}{a}$ です。

2つ目の直線は $(a-2)y = -x - 1$ より、$y = -\frac{1}{a-2}x - \frac{1}{a-2}$ なので、傾きは $-\frac{1}{a-2}$ です。

したがって、

$-\frac{a-2}{a} = -\frac{1}{a-2}$

$(a-2)^2 = a$

$a^2 - 4a + 4 = a$

$a^2 - 5a + 4 = 0$

$(a-1)(a-4) = 0$

$a = 1, 4$

ただし、$a=0, a=2$ となる場合は直線にならないため不適。よって、$a = 1, 4$ が答えです。

* ② 2つの直線が垂直になる条件は、傾きの積が $-1$ になることです。

$-\frac{a-2}{a} \times -\frac{1}{a-2} = -1$

$\frac{1}{a} = -1$

$a = -1$

$a = -1$

(3) $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接する円の中心は $(r, r)$ または $(-r, r)$ または $(r, -r)$ または $(-r, -r)$ の形になります。

点 $A(-4, 2)$ を通るので、中心は $(-r, r)$ で、$r>0$ と考えられます。

円の方程式は $(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ となります。

点 $A(-4, 2)$ を代入すると、

$(-4+r)^2 + (2-r)^2 = r^2$

$16 - 8r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 12r + 20 = 0$

$(r-2)(r-10) = 0$

$r = 2, 10$

したがって、円の方程式は $(x+2)^2 + (y-2)^2 = 4$ と $(x+10)^2 + (y-10)^2 = 100$ です。

(4) 円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25$ の中心は $(1, 2)$ で、半径は $5$ です。

点 $A(4, 6)$ は円周上の点です。

中心と点 $A$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{6-2}{4-1} = \frac{4}{3}$ です。

接線は中心と点 $A$ を結ぶ直線に垂直なので、接線の傾きは $-\frac{3}{4}$ です。

接線の方程式は $y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 4)$ となります。

$y = -\frac{3}{4}x + 3 + 6$

$y = -\frac{3}{4}x + 9$

$4y = -3x + 36$

$3x + 4y - 36 = 0$

3. 最終的な答え

(2)

* ① $a = 1, 4$

* ② $a = -1$

(3) $(x+2)^2 + (y-2)^2 = 4$、$(x+10)^2 + (y-10)^2 = 100$

(4) $3x + 4y - 36 = 0$