$P = (p_1 \quad p_2 \quad p_3 \quad p_4)$ は正則行列であり、 $A = (p_1 \quad -4p_1 \quad 2p_1 \quad p_2 \quad p_3)$ である。また、$b = p_1 - p_2 - 3p_3$ であるとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として与えられたものが正しいかどうかを判断する。

1. 問題の内容

$P = (p_1 \quad p_2 \quad p_3 \quad p_4)$ は正則行列であり、 $A = (p_1 \quad -4p_1 \quad 2p_1 \quad p_2 \quad p_3)$ である。また、$b = p_1 - p_2 - 3p_3$ であるとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として与えられたものが正しいかどうかを判断する。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式 $Ax = b$ の解の候補が、実際に解になっているかを確かめる。解の候補を $x$ とすると、

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

である。これを $Ax$ に代入し、$b$ と一致するかどうかを確かめる。

$Ax = A \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right)$

$= 1 \cdot p_1 + 0 \cdot (-4p_1) + 0 \cdot (2p_1) + (-1) \cdot p_2 + (-3) \cdot p_3 + p \cdot (4 p_1 + 3(-4p_1) + 4(2p_1)) + q \cdot (4p_1 + 1(-4p_1))$

$= p_1 - p_2 - 3p_3 + p \cdot (4p_1 - 12p_1 + 8p_1) + q \cdot (4p_1 - 4p_1)$

$= p_1 - p_2 - 3p_3 + p \cdot 0 + q \cdot 0$

$= p_1 - p_2 - 3p_3 = b$

したがって、与えられた $x$ は、$Ax = b$ の解である。

3. 最終的な答え

正しい