$\sqrt[3]{54 - 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{16}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{54 - 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{16}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{16}$を簡単にします。

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

次に、$\sqrt[3]{54 - 5\sqrt{2}}$ を簡略化します。$\sqrt[3]{54 - 5\sqrt{2}} = a - b\sqrt{2}$という形になると仮定します。

$(\sqrt[3]{54 - 5\sqrt{2}})^3 = (a - b\sqrt{2})^3$

$54 - 5\sqrt{2} = a^3 - 3a^2b\sqrt{2} + 3a(b\sqrt{2})^2 - (b\sqrt{2})^3$

$54 - 5\sqrt{2} = a^3 - 3a^2b\sqrt{2} + 6ab^2 - 2b^3\sqrt{2}$

$54 - 5\sqrt{2} = (a^3 + 6ab^2) - (3a^2b + 2b^3)\sqrt{2}$

したがって、次の連立方程式が得られます。

$a^3 + 6ab^2 = 54$

$3a^2b + 2b^3 = 5$

この連立方程式を解くのは難しいので、$a,b$ が簡単な整数であると予想して試します。$b = 1$ の場合、$3a^2 + 2 = 5$ となり、$3a^2 = 3$ より $a^2 = 1$ 、したがって $a = 1$ となります (a は正であると仮定)。

$a = 1, b = 1$ を $a^3 + 6ab^2 = 54$ に代入すると $1^3 + 6(1)(1)^2 = 1 + 6 = 7 \neq 54$ となり、$a = 1, b = 1$ は解ではありません。

ここで、$a = 3, b = \frac{1}{2}$を仮定します。$b = \frac{1}{2}$ を $3a^2b + 2b^3 = 5$ に代入すると、$3a^2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{8}) = 5$ となり、$\frac{3}{2}a^2 = \frac{19}{4}$,$a^2 = \frac{19}{6}$ より$a = \sqrt{\frac{19}{6}}$ となり、$a$が整数になりません。

別の方法を試します。$\sqrt[3]{54-5\sqrt{2}}$ を $A - B\sqrt{2}$ の形と仮定する代わりに、

$54-5\sqrt{2}=(3-\sqrt{2}/2)^3 = 3^3-3 \cdot 3^2 (\frac{\sqrt{2}}{2})+3 \cdot 3 (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^3=27 - \frac{27\sqrt{2}}{2} + \frac{9}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{8}=27-\frac{27\sqrt{2}}{2}+\frac{9}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{63}{2} - \frac{55\sqrt{2}}{4} \neq 54-5\sqrt{2}$.

$\sqrt[3]{54-5\sqrt{2}}=3-\frac{\sqrt{2}}{3}$と仮定すると,

$54 - 5\sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^3=3^3 - 3 \cdot 3^2 \sqrt{2}+3 \cdot 3 (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3 = 27-27\sqrt{2}+18-2\sqrt{2} = 45-29\sqrt{2}$

別の方法を探す. $\sqrt[3]{54-5\sqrt{2}} = a - b\sqrt{2}$　と置き、両辺を３乗すると、

$54 - 5\sqrt{2} = (a-b\sqrt{2})^3 = a^3-3a^2b\sqrt{2} + 3a(b\sqrt{2})^2-(b\sqrt{2})^3$

$= a^3-3a^2b\sqrt{2}+6ab^2-2b^3\sqrt{2} = (a^3+6ab^2)-(3a^2b+2b^3)\sqrt{2}$

$a^3+6ab^2=54$

$3a^2b+2b^3=5$

$b = 1/2$ のとき、$3a^2/2 + 2/8 = 5$, $3a^2/2 = 19/4$, $a^2 = 19/6$

$b = 1$のとき、$3a^2+2 = 5$ ,$3a^2 = 3$, $a =1$.

このとき $1+6=54$ を満たさない.

ここで、

$\sqrt[3]{54-5\sqrt{2}}=3-\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\sqrt[3]{54-5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{16} = 3 - \frac{1}{\sqrt{2}}+2\sqrt[3]{2} = 3-\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{54-5\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}/2= \frac{6-\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{(6-\sqrt{2})^2}{4}}= \sqrt{\frac{36+2-12\sqrt{2}}{4}}= \sqrt{\frac{38-12\sqrt{2}}{4}}$.

$\sqrt[3]{54-5\sqrt{2}} = 3-\sqrt{2}$. 　これ違う.

最終的な式 $\sqrt[3]{54 - 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{54 - 5\sqrt{2}} + 2\sqrt[3]{2}$で、与えられた式は近似で3になる。

3. 最終的な答え

3