実数 $x, y$ が条件 $x^2 + xy + y^2 = 6$ を満たしながら動くとき、$x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y$ がとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が条件 $x^2 + xy + y^2 = 6$ を満たしながら動くとき、$x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y$ がとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y$ を因数分解します。

\begin{align*}

x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y &= xy(x+y) - (x^2+2xy+y^2) + x+y \\

&= xy(x+y) - (x+y)^2 + (x+y) \\

&= (x+y)(xy - (x+y) + 1) \\

&= (x+y)(xy - x - y + 1)

\end{align*}

$x+y = u$, $xy = v$ とおくと、$x^2+xy+y^2 = (x+y)^2 - xy = u^2 - v = 6$ より、$v = u^2 - 6$

したがって、$x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y = (x+y)(xy - x - y + 1) = u(u^2 - 6 - u + 1) = u(u^2 - u - 5) = u^3 - u^2 - 5u$

$x,y$ は実数なので、$t^2 - ut + v = 0$ は実数解を持つ。したがって、判別式 $D = u^2 - 4v \ge 0$ より、

$u^2 - 4(u^2-6) \ge 0$

$u^2 - 4u^2 + 24 \ge 0$

$-3u^2 + 24 \ge 0$

$3u^2 \le 24$

$u^2 \le 8$

$-\sqrt{8} \le u \le \sqrt{8}$

$-2\sqrt{2} \le u \le 2\sqrt{2}$

$f(u) = u^3 - u^2 - 5u$ とおくと、

$f'(u) = 3u^2 - 2u - 5 = (3u-5)(u+1)$

$f'(u) = 0$ より、$u = -1, 5/3$

$f(-2\sqrt{2}) = (-2\sqrt{2})^3 - (-2\sqrt{2})^2 - 5(-2\sqrt{2}) = -16\sqrt{2} - 8 + 10\sqrt{2} = -6\sqrt{2} - 8$

$f(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^3 - (2\sqrt{2})^2 - 5(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} - 8 - 10\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - 8$

$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) = -1 - 1 + 5 = 3$

$f(5/3) = (5/3)^3 - (5/3)^2 - 5(5/3) = 125/27 - 25/9 - 25/3 = 125/27 - 75/27 - 225/27 = -175/27$

$-2\sqrt{2} \le -1 < 5/3 \le 2\sqrt{2}$

$f(-2\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} - 8 \approx -16.485$

$f(2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 8 \approx 0.485$

$f(5/3) = -175/27 \approx -6.48$

$f(-2\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} - 8$

$f(2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 8$

求める値の範囲は $[-6\sqrt{2} - 8, 3]$

3. 最終的な答え

$-6\sqrt{2} - 8 \le x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 + x + y \le 3$