クリスマスコンサートで販売するTシャツの販売価格を決定する問題です。過去の販売実績から、Tシャツ1枚の販売価格 $x$ 円と購入者の割合 $y$ %の関係を1次関数とみなして、売上額を最大にする価格を求めます。

1. 問題の内容

クリスマスコンサートで販売するTシャツの販売価格を決定する問題です。過去の販売実績から、Tシャツ1枚の販売価格 $x$ 円と購入者の割合 $y$ %の関係を1次関数とみなして、売上額を最大にする価格を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の関係式を求めます。

問題文より、販売価格が400円上がると購入者の割合が10%低くなるため、$x$ と $y$ の関係は線形であると分かります。表より、販売価格が2400円のとき購入者の割合は65%、販売価格が2800円のとき購入者の割合は55%です。

したがって、傾きは $\frac{55-65}{2800-2400} = \frac{-10}{400} = -\frac{1}{40}$ となります。

よって、$y = -\frac{1}{40}x + b$ と表せます。

$x=2400$ のとき $y=65$ なので、 $65 = -\frac{1}{40}(2400) + b$ より $65 = -60 + b$ なので、$b = 125$

したがって、$y = -\frac{1}{40}x + 125$ です。

$x=2960$ のとき、$y = -\frac{1}{40}(2960) + 125 = -74 + 125 = 51$ です。

次に、売上額を最大にする販売価格を求めます。

売上額 = (Tシャツ1枚の販売価格) * (販売枚数) です。

販売枚数 = (来場者数) * (購入者の割合) です。

来場者数は3000人と分かっています。

したがって、売上額 = $x \times 3000 \times \frac{y}{100} = x \times 3000 \times \frac{-\frac{1}{40}x + 125}{100} = 30x(-\frac{1}{40}x + 125) = -\frac{3}{4}x^2 + 3750x$ です。

売上額を最大にする $x$ は、この2次関数の頂点の $x$ 座標です。

頂点の $x$ 座標は $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3750}{2(-\frac{3}{4})} = \frac{3750 \times 4}{2 \times 3} = \frac{15000}{6} = 2500$ です。

このとき、$y = -\frac{1}{40}(2500) + 125 = -62.5 + 125 = 62.5$ です。

販売枚数 = $3000 \times \frac{62.5}{100} = 3000 \times 0.625 = 1875$ 枚です。

3. 最終的な答え

アイ: 51

エオカキ: 2500

クケコサ: 1875