(1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられている。このグラフから、$a$, $b$, $c$, $a+b+c$ の値がそれぞれ正、負、または0のいずれであるかを答える。 (2) 放物線 $y = 2x^2 - 8x + 5$ を放物線 $y = 2x^2 + 4x + 3$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいか。 (3) 放物線 $y = 2x^2 - 5x + 3$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-3だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられている。このグラフから、$a$, $b$, $c$, $a+b+c$ の値がそれぞれ正、負、または0のいずれであるかを答える。

(2) 放物線 $y = 2x^2 - 8x + 5$ を放物線 $y = 2x^2 + 4x + 3$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいか。

(3) 放物線 $y = 2x^2 - 5x + 3$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-3だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $a$ の符号: グラフは下に凸なので、$a>0$。

* $b$ の符号: 軸の位置は $x = -\frac{b}{2a}$ であり、グラフから軸は $x=1$ である。したがって、$-\frac{b}{2a}=1$。$a>0$ なので、$b = -2a < 0$。

* $c$ の符号: グラフと $y$ 軸の交点は正である。$x=0$ のとき $y=c$ なので、$c>0$。

* $a+b+c$ の符号: $x=1$ のときの $y$ の値を考える。グラフより、$x=1$ のとき $y < 0$。$x=1$ を $y=ax^2 + bx + c$ に代入すると、 $y = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$。よって、$a+b+c < 0$。

(2)

放物線 $y = 2x^2 - 8x + 5$ と $y = 2x^2 + 4x + 3$ の頂点の座標をそれぞれ求める。

$y = 2x^2 - 8x + 5 = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x^2 - 4x + 4) - 8 + 5 = 2(x - 2)^2 - 3$。頂点は $(2, -3)$。

$y = 2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3 = 2(x^2 + 2x + 1) - 2 + 3 = 2(x + 1)^2 + 1$。頂点は $(-1, 1)$。

頂点 $(2, -3)$ を頂点 $(-1, 1)$ に移動させる平行移動は、$x$ 軸方向に $-1 - 2 = -3$, $y$ 軸方向に $1 - (-3) = 4$。

したがって、$x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動すればよい。

(3)

放物線 $y = 2x^2 - 5x + 3$ を $x$ 軸方向に2, $y$ 軸方向に-3だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

$x$ 軸方向に2だけ平行移動すると、$x$ を $x - 2$ に置き換える。$y = 2(x - 2)^2 - 5(x - 2) + 3$。

$y$ 軸方向に-3だけ平行移動すると、$y$ を $y + 3$ に置き換える。$y + 3 = 2(x - 2)^2 - 5(x - 2) + 3$。

したがって、$y = 2(x - 2)^2 - 5(x - 2) + 3 - 3 = 2(x^2 - 4x + 4) - 5x + 10 = 2x^2 - 8x + 8 - 5x + 10 = 2x^2 - 13x + 18$。

3. 最終的な答え

(1)

* $a$: 正

* $b$: 負

* $c$: 正

* $a+b+c$: 負

(2)

$x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動する。

(3)

$y = 2x^2 - 13x + 18$