AとBの2つの給水管を持つ水槽がある。Aは毎分1リットル、Bは毎分2リットルの割合で給水する。最初はAのみで給水し、途中からAとBの両方で給水する。給水開始から $x$ 分後の水槽の水の量を $y$ リットルとする。 (1) AとBの両方を使って給水しているときの $x$ と $y$ の関係式を求めよ。 (2) Bを開いたのは給水開始から何分後か求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2つの給水管を持つ水槽がある。Aは毎分1リットル、Bは毎分2リットルの割合で給水する。最初はAのみで給水し、途中からAとBの両方で給水する。給水開始から $x$ 分後の水槽の水の量を $y$ リットルとする。

(1) AとBの両方を使って給水しているときの $x$ と $y$ の関係式を求めよ。

(2) Bを開いたのは給水開始から何分後か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Aのみで給水しているときのグラフの傾きを求める。これはAの給水速度である毎分1リットルを表している。グラフより、$x$ 分後の水の量は $y=x$ である。

次に、AとBの両方で給水しているときのグラフの傾きを求める。Aは毎分1リットル、Bは毎分2リットルなので、AとBの両方で給水すると、毎分3リットルになる。

グラフより、給水開始から48分後には70リットルになっている。Aのみで給水していた時のグラフとAとB両方で給水している時のグラフの交点の $x$ 座標を $t$ とおく。

Aのみで給水していた時は $t$ 分間で $t$ リットル溜まっている。

AとB両方で給水していた時間は $(48-t)$ 分間である。

したがって、AとB両方で給水していた間に $3(48-t)$ リットル溜まる。

よって、

$t + 3(48-t) = 70$

$t + 144 - 3t = 70$

$-2t = -74$

$t = 37$

Bを開いたのは37分後である。

次に、AとBの両方を使って給水しているときの $x$ と $y$ の関係式を求める。傾きは3である。

AとB両方で給水を始めてから $x$ 分後の水の量を $y$ リットルとすると、

$y = 3x + b$

という式で表せる。

Bを開いてから11分後に満水になっているため

70リットルになるまでに11分かかるので

$x$ 分後と読み替えるため

$y = 3(x-37) + 37$

$y = 3x - 111 + 37$

$y = 3x - 74$

(2) Bを開いたのは、Aのみで給水していたときから、AとB両方で給水するようになった時点なので、(1)で計算した $t$ の値が答えである。

3. 最終的な答え

(1) $y=3x-74$

(2) 37分後