次の2つの不等式を解く。 (1) $x-4 < 3x$ (2) $|x-1|+2|x-3| \le 11$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を解く。

(1) $x-4 < 3x$

(2) $|x-1|+2|x-3| \le 11$

2. 解き方の手順

(1) $x-4 < 3x$

両辺から $x$ を引く：

$-4 < 2x$

両辺を2で割る：

$-2 < x$

したがって、$x > -2$

(2) $|x-1|+2|x-3| \le 11$

絶対値記号があるので、場合分けをして考える。

場合1: $x < 1$ のとき

$x-1 < 0$ かつ $x-3 < 0$ であるから、

$-(x-1) - 2(x-3) \le 11$

$-x+1-2x+6 \le 11$

$-3x+7 \le 11$

$-3x \le 4$

$x \ge -\frac{4}{3}$

したがって、$-\frac{4}{3} \le x < 1$

場合2: $1 \le x < 3$ のとき

$x-1 \ge 0$ かつ $x-3 < 0$ であるから、

$(x-1) - 2(x-3) \le 11$

$x-1-2x+6 \le 11$

$-x+5 \le 11$

$-x \le 6$

$x \ge -6$

したがって、$1 \le x < 3$

場合3: $x \ge 3$ のとき

$x-1 > 0$ かつ $x-3 \ge 0$ であるから、

$(x-1) + 2(x-3) \le 11$

$x-1+2x-6 \le 11$

$3x-7 \le 11$

$3x \le 18$

$x \le 6$

したがって、$3 \le x \le 6$

以上の3つの場合を合わせると、$-\frac{4}{3} \le x \le 6$

3. 最終的な答え

(1) $x > -2$

(2) $-\frac{4}{3} \le x \le 6$