$a$ を0でない実数とし、$f(x) = ax^2 + 2ax - a + 6$、$g(x) = x - 2a + 9$ という二つの関数について、以下の問いに答える問題です。 (1) $a=1$ のときの $-3 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最小値と最大値を求めます。 (2) $-3 \le x \le 0$ のとき、$f(x)$ の最小値が4、最大値が8となるような $a$ の個数を求めます。 (3) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となるような $a$ の値の範囲と、少なくとも一つの実数 $x$ に対して $f(x) > g(x)$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。 (4) $h(x) = f(x) + 2a \cdot g(x)$ と定義し、$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフの方程式が $y = h(x)$ と一致するような $a$ の値を全て求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a$ を0でない実数とし、$f(x) = ax^2 + 2ax - a + 6$、$g(x) = x - 2a + 9$ という二つの関数について、以下の問いに答える問題です。

(1) $a=1$ のときの $-3 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最小値と最大値を求めます。

(2) $-3 \le x \le 0$ のとき、$f(x)$ の最小値が4、最大値が8となるような $a$ の個数を求めます。

(3) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となるような $a$ の値の範囲と、少なくとも一つの実数 $x$ に対して $f(x) > g(x)$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

(4) $h(x) = f(x) + 2a \cdot g(x)$ と定義し、$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したグラフの方程式が $y = h(x)$ と一致するような $a$ の値を全て求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、$f(x) = x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ となります。$-3 \le x \le 0$ において、頂点 $x=-1$ を含み、$f(-1) = 4$ が最小値です。また、$f(-3) = (-3+1)^2 + 4 = 8$, $f(0) = 5$ となるので、最大値は8です。

(2) $f(x) = ax^2 + 2ax - a + 6 = a(x+1)^2 - 2a + 6$ と変形できます。軸は $x=-1$ です。

* $a>0$ のとき、最小値は $f(-1) = -2a + 6 = 4$ より、$2a = 2$, $a=1$ となります。

最大値は $f(-3) = 9a - 6a - a + 6 = 2a+6 = 8$ より、$2a=2$, $a=1$ となります。これは条件を満たします。

* $a<0$ のとき、最大値は $f(-1) = -2a + 6 = 8$ より、$-2a = 2$, $a=-1$ となります。最小値は $f(-3) = f(0) = -a+6 = 4$ より、$-a = -2$, $a=2$。 これは矛盾。

したがって、$a=1$のみが条件を満たします。 よって、個数は1個です。

(3) 全ての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となる条件は、$a>0$ かつ判別式 $D = (2a)^2 - 4a(-a+6) = 4a^2 + 4a^2 - 24a = 8a^2 - 24a < 0$。

$8a(a-3) < 0$ より、$0 < a < 3$ となります。

$f(x) > g(x)$ は $ax^2 + 2ax - a + 6 > x - 2a + 9$、つまり $ax^2 + (2a - 1)x + a - 3 > 0$ と同値です。

少なくとも一つの $x$ でこれが成り立つには、$a>0$ であれば成り立ちます。$a<0$ の場合は判別式を考えて、$D = (2a-1)^2 - 4a(a-3) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 12a = 8a+1 > 0$。つまり、$a > -\frac{1}{8}$。したがって、$-\frac{1}{8} < a < 0$ です。

以上より、$-\frac{1}{8} < a < 3$ となります。

(4) $f(x+1) - 4 = a(x+1)^2 + 2a(x+1) - a + 6 - 4 = a(x^2+2x+1) + 2ax + 2a - a + 2 = ax^2 + 4ax + 2a + 2$.

$h(x) = ax^2 + 2ax - a + 6 + 2a(x - 2a + 9) = ax^2 + 2ax - a + 6 + 2ax - 4a^2 + 18a = ax^2 + 4ax - 4a^2 + 17a + 6$.

したがって、$2a+2 = -4a^2 + 17a + 6$。

$4a^2 - 15a - 4 = 0$.

$(4a+1)(a-4) = 0$。

よって、$a = -\frac{1}{4}, 4$。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 4 （ア. 4), 最大値: 8 （ア. 8)

(2) 1 （ア. 1)

(3) $0 < a < 3$ （イ. $0 < a < 3$), $-\frac{1}{8} < a < 3$

(4) $a = -\frac{1}{4}, 4$