与えられた命題「$x+y < 0$ ならば $x < 0$ または $y < 0$」の逆と対偶を述べ、それぞれの真偽を調べる問題です。偽の場合は反例を挙げます。

1. 問題の内容

与えられた命題「$x+y < 0$ ならば $x < 0$ または $y < 0$」の逆と対偶を述べ、それぞれの真偽を調べる問題です。偽の場合は反例を挙げます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の逆、対偶を求めます。

* **逆**: 「$x < 0$ または $y < 0$ ならば $x+y < 0$」

* **対偶**: 「$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ ならば $x+y \ge 0$」

次に、それぞれの真偽を判定します。

* **元の命題**：「$x+y < 0$ ならば $x < 0$ または $y < 0$」は真です。$x+y < 0$であるとき、少なくとも$x$と$y$のどちらかは負の数でなければならないからです。

* **逆**：「$x < 0$ または $y < 0$ ならば $x+y < 0$」は偽です。反例として、$x = -1, y = 2$ を考えます。このとき、$x < 0$ または $y < 0$ は成り立ちますが、$x+y = -1 + 2 = 1 > 0$ となり、$x+y < 0$ は成り立ちません。

* **対偶**：「$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ ならば $x+y \ge 0$」は真です。$x$と$y$がともに0以上であるならば、それらの和$x+y$も必ず0以上になります。対偶は元の命題の真偽と一致します。

3. 最終的な答え

* 元の命題：「$x+y < 0$ ならば $x < 0$ または $y < 0$」　真

* 逆：「$x < 0$ または $y < 0$ ならば $x+y < 0$」　偽、反例：$x=-1, y=2$

* 対偶：「$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ ならば $x+y \ge 0$」　真