$D_1 = (a + 1)^2 - 4(1)(a^2) = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1 \geq 0$ $3a^2 - 2a - 1 \leq 0$ $(3a + 1)(a - 1) \leq 0$ $-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を順番に解いていきます。

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1. 問題の内容**

放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$, $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。

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2. 解き方の手順**

平行移動した放物線の方程式は、

$y = -2(x - p)^2 + 3(x - p) + 1 + q$ と表せる。

ただし、$p$, $q$ はそれぞれx軸方向、y軸方向の平行移動の量である。

簡単のため、$y = -2x^2 + 3x + 1$の平行移動後の放物線を、$y = -2x^2 + bx + c$とおく。

これが2点 $(-2, 0)$, $(1, 12)$ を通るので、それぞれ代入する。

* $x = -2, y = 0$ のとき:

$0 = -2(-2)^2 + b(-2) + c$

$0 = -8 - 2b + c$

$2b - c = -8$ (1)

* $x = 1, y = 12$ のとき:

$12 = -2(1)^2 + b(1) + c$

$12 = -2 + b + c$

$b + c = 14$ (2)

(1) + (2) より、

$3b = 6$

$b = 2$

(2) に代入して、

$2 + c = 14$

$c = 12$

したがって、求める放物線の方程式は、

$y = -2x^2 + 2x + 12$

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3. 最終的な答え**

$y = -2x^2 + 2x + 12$

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1. 問題の内容**

次の2つの放物線の頂点が一致するとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

$y = 2x^2 + 4x$, $y = x^2 + ax + b$

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2. 解き方の手順**

まず、それぞれの放物線の頂点の座標を求める。

* $y = 2x^2 + 4x = 2(x^2 + 2x) = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) = 2((x + 1)^2 - 1) = 2(x + 1)^2 - 2$

よって、頂点の座標は $(-1, -2)$。

* $y = x^2 + ax + b = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + b = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + b$

よって、頂点の座標は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b)$。

頂点が一致するので、

$-\frac{a}{2} = -1$ かつ $-\frac{a^2}{4} + b = -2$

$-\frac{a}{2} = -1$ より、

$a = 2$

$-\frac{a^2}{4} + b = -2$に、$a = 2$を代入して、

$-\frac{2^2}{4} + b = -2$

$-1 + b = -2$

$b = -1$

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3. 最終的な答え**

$a = 2$, $b = -1$

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1. 問題の内容**

$x$ の2次関数 $y = x^2 - mx + m$ の最小値を $k$ とする。

(1) $k$ を $m$ の式で表せ。

(2) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めよ。

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2. 解き方の手順**

(1) $y = x^2 - mx + m$ を平方完成する。

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - (\frac{m}{2})^2 + m = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

最小値 $k$ は $k = -\frac{m^2}{4} + m$

(2) $k = -\frac{m^2}{4} + m$ を平方完成する。

$k = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m) = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m + 4 - 4) = -\frac{1}{4}((m - 2)^2 - 4) = -\frac{1}{4}(m - 2)^2 + 1$

したがって、$k$ の値が最大になるのは、$m = 2$ のときで、その最大値は $1$。

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3. 最終的な答え**

(1) $k = -\frac{m^2}{4} + m$

(2) $m = 2$, $k = 1$

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1. 問題の内容**

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが右の図のようになるとき、次の値の符号を求めよ。

(1) $a$ (2) $c$ (3) $-\frac{b}{2a}$ (4) $b$ (5) $b^2 - 4ac$ (6) $a + b + c$

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2. 解き方の手順**

(1) グラフは上に凸なので、$a < 0$

(2) $y$ 切片は正なので、$c > 0$

(3) 軸の位置は $x = -\frac{b}{2a}$ で、$x > 0$ より、$-\frac{b}{2a} > 0$

(4) $-\frac{b}{2a} > 0$ で、$a < 0$ より、$b > 0$

(5) グラフと $x$ 軸の交点は2つあるので、$b^2 - 4ac > 0$

(6) $x = 1$ のとき、$y = a + b + c$。グラフより、$x = 1$ のとき、$y > 0$。よって、$a + b + c > 0$

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3. 最終的な答え**

(1) $a < 0$

(2) $c > 0$

(3) $-\frac{b}{2a} > 0$

(4) $b > 0$

(5) $b^2 - 4ac > 0$

(6) $a + b + c > 0$

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1. 問題の内容**

2次不等式 $ax^2 + bx + 4 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ となるように、定数 $a$, $b$ の値を定めよ。

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2. 解き方の手順**

$ax^2 + bx + 4 > 0$ の解が $-1 < x < 2$ であるということは、$ax^2 + bx + 4 = 0$ の解が $x = -1, 2$ である。

また、解が $-1 < x < 2$ であることから、$a < 0$ でなければならない。

$ax^2 + bx + 4 = a(x + 1)(x - 2) = a(x^2 - x - 2) = ax^2 - ax - 2a = 0$

$ax^2 + bx + 4 > 0$ を $ax^2 - ax - 2a > 0$ と比較すると、

$b = -a$

$4 = -2a$

$4 = -2a$ より、$a = -2$

$b = -a$ より、$b = -(-2) = 2$

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3. 最終的な答え**

$a = -2$, $b = 2$

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1. 問題の内容**

$a$ は定数とする。2次不等式 $x^2 - ax - 2a^2 < 0$ を次の場合について解け。

(1) $a > 0$ のとき

(2) $a < 0$ のとき

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2. 解き方の手順**

$x^2 - ax - 2a^2 < 0$ を因数分解する。

$(x - 2a)(x + a) < 0$

(1) $a > 0$ のとき

$-a < 2a$ より、不等式の解は $-a < x < 2a$

(2) $a < 0$ のとき

$2a < -a$ より、不等式の解は $2a < x < -a$

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3. 最終的な答え**

(1) $a > 0$ のとき: $-a < x < 2a$

(2) $a < 0$ のとき: $2a < x < -a$

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1. 問題の内容**

次の2つの方程式がともに実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$x^2 + (a + 1)x + a^2 = 0$, $x^2 + 2ax + 2a = 0$

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2. 解き方の手順**

それぞれの2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

1. $x^2 + (a + 1)x + a^2 = 0$ について

$D_1 = (a + 1)^2 - 4(1)(a^2) = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1 \geq 0$

$3a^2 - 2a - 1 \leq 0$

$(3a + 1)(a - 1) \leq 0$

$-\frac{1}{3} \leq a \leq 1$

2. $x^2 + 2ax + 2a = 0$ について

$D_2 = (2a)^2 - 4(1)(2a) = 4a^2 - 8a \geq 0$

$4a(a - 2) \geq 0$

$a \leq 0$ または $a \geq 2$

したがって、$a$ の範囲は、

$-\frac{1}{3} \leq a \leq 0$

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3. 最終的な答え**

$-\frac{1}{3} \leq a \leq 0$

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1. 問題の内容**

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ において、$y$ の値が常に正であるように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

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2. 解き方の手順**

$y = x^2 - 2ax + a > 0$ が常に成り立つためには、判別式 $D < 0$ でなければならない。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a) = 4a^2 - 4a < 0$

$4a(a - 1) < 0$

$0 < a < 1$

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3. 最終的な答え**

$0 < a < 1$