## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

(1) 命題「$n^2$が3の倍数でないならば、$n$は3の倍数でない」を証明するために、空欄を埋める問題です。

(2) 等式 $(3+2\sqrt{3})p - (2-\sqrt{3})q + 1 - 4\sqrt{3} = 0$ を満たす有理数 $p, q$ の値を求める問題です。

##

2. 解き方の手順

### (1) の問題

**証明の穴埋め**

元の命題の**対偶**を考える。

対偶は「$n$が3の倍数ならば、$n^2$は3の倍数」となる。

$n$が3の倍数であるから、ある整数$k$を用いて

$n = 3k$ と表される。

このとき $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となる。

($3k^2$)は整数となるから、$n^2$は3の倍数である。

よって、命題(A)が**真**であるから、もとの命題も**真**である。

### (2) の問題

$(3+2\sqrt{3})p - (2-\sqrt{3})q + 1 - 4\sqrt{3} = 0$ を整理する。

$3p + 2\sqrt{3}p - 2q + \sqrt{3}q + 1 - 4\sqrt{3} = 0$

$(3p - 2q + 1) + (2p + q - 4)\sqrt{3} = 0$

$p$と$q$は有理数なので、$3p - 2q + 1$と$2p + q - 4$は有理数である。$\sqrt{3}$は無理数なので、

$3p - 2q + 1 = 0$ かつ $2p + q - 4 = 0$

という連立方程式が得られる。これを解く。

$2p + q = 4$ より、$q = 4 - 2p$

これを $3p - 2q + 1 = 0$ に代入すると、

$3p - 2(4 - 2p) + 1 = 0$

$3p - 8 + 4p + 1 = 0$

$7p - 7 = 0$

$7p = 7$

$p = 1$

$q = 4 - 2p = 4 - 2(1) = 2$

##

3. 最終的な答え

(1)

空欄１：対偶

空欄２：3の倍数

空欄３：3の倍数

(ア)：3k^2

(イ)：3の倍数

最後の空欄：真、真

(2)

$p = 1$

$q = 2$