$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1, p_2, p_3, -p_1 + p_2 - 3p_3)$ とする。 $b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、 $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$ が正しいかどうかを判定する。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1, p_2, p_3, -p_1 + p_2 - 3p_3)$ とする。

$b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$ が正しいかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

$Ax = b$ を解くために、まず $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とおくと、

$Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 (-p_1 + p_2 - 3p_3) = b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ となる。

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、各係数を比較して、

$x_1 - x_4 = 3$

$x_2 + x_4 = 2$

$x_3 - 3x_4 = 3$

となる。

これを解くと、

$x_1 = x_4 + 3$

$x_2 = -x_4 + 2$

$x_3 = 3x_4 + 3$

$x_4 = x_4$

よって、$x = \begin{pmatrix} x_4 + 3 \\ -x_4 + 2 \\ 3x_4 + 3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

与えられた解の候補と比較する。

$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+2p \\ 1-2p \\ 6+6p \\ 1+2p \end{pmatrix}$

この解が$Ax = b$を満たすには、

$x_1 = 4 + 2p$

$x_2 = 1 - 2p$

$x_3 = 6 + 6p$

$x_4 = 1 + 2p$

を $x_1 - x_4 = 3$, $x_2 + x_4 = 2$, $x_3 - 3x_4 = 3$ に代入して満たすかを確認する。

$(4 + 2p) - (1 + 2p) = 3$ これは成り立つ。

$(1 - 2p) + (1 + 2p) = 2$ これは成り立つ。

$(6 + 6p) - 3(1 + 2p) = 6 + 6p - 3 - 6p = 3$ これは成り立つ。

したがって、与えられた解は正しい。

3. 最終的な答え

正しい