$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -3p_1+2p_2)$ $b = p_1 + 2p_2$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいかどうか。 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , p,q \in \mathbb{R}$

1. 問題の内容

$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -3p_1+2p_2)$

$b = p_1 + 2p_2$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいかどうか。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , p,q \in \mathbb{R}$

2. 解き方の手順

まず、$A$ と $x$ をベクトルで表現し、$Ax$ を計算します。

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax = x_1 p_1 + x_2(-2p_1 + p_2) + x_3(-3p_1 + 2p_2) = (x_1 - 2x_2 - 3x_3)p_1 + (x_2 + 2x_3)p_2$

$Ax = b$ より、

$(x_1 - 2x_2 - 3x_3)p_1 + (x_2 + 2x_3)p_2 = p_1 + 2p_2$

$p_1$ と $p_2$ は線形独立なので、

$x_1 - 2x_2 - 3x_3 = 1$

$x_2 + 2x_3 = 2$

$x_2 = 2 - 2x_3$ を最初の式に代入すると、

$x_1 - 2(2 - 2x_3) - 3x_3 = 1$

$x_1 - 4 + 4x_3 - 3x_3 = 1$

$x_1 = -x_3 + 5$

解は、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_3 + 5 \\ 2 - 2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

または

$x = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$

与えられたパラメータ表示は、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

提示されている解は $A x=b$ の解空間を表現しているか確認する必要がある。

ここで A は３ｘ３の行列なので与えられたパラメータ表示が解になることはない。

3. 最終的な答え

与えられたパラメータ表示は正しくない。