ベクトル $\vec{a} = (2, -4)$ と $\vec{b} = (-1, 6)$ が与えられています。連立方程式 $2\vec{x} - 3\vec{y} = 4\vec{a} - 3\vec{b}$ $\vec{x} + \vec{y} = \vec{a} + 2\vec{b}$ を満たすベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を求め、その成分を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -4)$ と $\vec{b} = (-1, 6)$ が与えられています。連立方程式

$2\vec{x} - 3\vec{y} = 4\vec{a} - 3\vec{b}$

$\vec{x} + \vec{y} = \vec{a} + 2\vec{b}$

を満たすベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ を求め、その成分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を解きます。

2番目の式を3倍して、最初の式に足し合わせます。

$2\vec{x} - 3\vec{y} + 3(\vec{x} + \vec{y}) = 4\vec{a} - 3\vec{b} + 3(\vec{a} + 2\vec{b})$

$5\vec{x} = 7\vec{a} + 3\vec{b}$

$\vec{x} = \frac{7}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$

$\vec{x} = \frac{7}{5}(2, -4) + \frac{3}{5}(-1, 6) = (\frac{14}{5}, -\frac{28}{5}) + (-\frac{3}{5}, \frac{18}{5}) = (\frac{11}{5}, -\frac{10}{5}) = (\frac{11}{5}, -2)$

次に、$\vec{y}$ を求めます。

$\vec{y} = \vec{a} + 2\vec{b} - \vec{x}$

$\vec{y} = (2, -4) + 2(-1, 6) - (\frac{11}{5}, -2) = (2, -4) + (-2, 12) - (\frac{11}{5}, -2) = (0, 8) - (\frac{11}{5}, -2) = (-\frac{11}{5}, 10)$

3. 最終的な答え

$\vec{x} = (\frac{11}{5}, -2)$

$\vec{y} = (-\frac{11}{5}, 10)$