整式 $P$ を $2x^2+5$ で割ると余りが $7x-4$ であり、その商を $3x^2+5x+2$ で割ると余りが $3x+8$ である。このとき、$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P$ を $2x^2+5$ で割ると余りが $7x-4$ であり、その商を $3x^2+5x+2$ で割ると余りが $3x+8$ である。このとき、$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、$P$ を以下のように表すことができる。

$$P = (2x^2+5)Q + (7x-4)$$

ここで、$Q$ は $2x^2+5$ で割ったときの商である。さらに、$Q$ を $3x^2+5x+2$ で割ると余りが $3x+8$ であるから、$Q$ は以下のように表せる。

$$Q = (3x^2+5x+2)R + (3x+8)$$

ここで、$R$ は $3x^2+5x+2$ で割ったときの商である。

これを $P$ の式に代入すると、

$$P = (2x^2+5)((3x^2+5x+2)R + (3x+8)) + (7x-4)$$

$$P = (2x^2+5)(3x^2+5x+2)R + (2x^2+5)(3x+8) + (7x-4)$$

$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りを求めたいので、$(2x^2+5)(3x+8) + (7x-4)$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りを計算すればよい。

$$(2x^2+5)(3x+8) + (7x-4) = 6x^3 + 16x^2 + 15x + 40 + 7x - 4 = 6x^3 + 16x^2 + 22x + 36$$

$6x^3 + 16x^2 + 22x + 36$ を $3x^2+5x+2$ で割る。

$$$$

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{2x} & +2 \\

\cline{2-5}

3x^2+5x+2 & 6x^3 & +16x^2 & +22x & +36 \\

\multicolumn{2}{r}{6x^3} & +10x^2 & +4x \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & 6x^2 & +18x & +36 \\

\multicolumn{2}{r}{} & 6x^2 & +10x & +4 \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 8x & +32 \\

\end{array}

$$$$

したがって、$6x^3 + 16x^2 + 22x + 36 = (3x^2+5x+2)(2x+2) + (8x+32)$となる。

よって、$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りは $8x+32$ である。

3. 最終的な答え

$8x+32$