複素数 $z_1 = \sqrt{3} + i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ を極形式 $re^{i\theta}$ で表し、極形式から元の複素数に戻ることを確認する。

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = \sqrt{3} + i$ と $z_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$ を極形式 $re^{i\theta}$ で表し、極形式から元の複素数に戻ることを確認する。

2. 解き方の手順

まず、$z_1$ を極形式で表す。

$r_1 = |z_1| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\cos\theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\theta_1 = \frac{1}{2}$ より、$\theta_1 = \frac{\pi}{6}$

したがって、$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

次に、$z_2$ を極形式で表す。

$r_2 = |z_2| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = 2$

$\cos\theta_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin\theta_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、$\theta_2 = \frac{\pi}{4}$

したがって、$z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$

極形式から元の複素数に戻ることを確認する。

$z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$

$z_2 = 2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

$z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$