整式 $P$ を $2x^2+5x+2$ で割ると $7x-4$ 余り、さらにその商を $3x^2+5x+2$ で割ると $3x+8$ 余る。このとき、$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P$ を $2x^2+5x+2$ で割ると $7x-4$ 余り、さらにその商を $3x^2+5x+2$ で割ると $3x+8$ 余る。このとき、$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、整式 $P$ を $2x^2+5x+2$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると、

$P = (2x^2+5x+2)Q(x) + 7x-4$

と表せる。

次に、商 $Q(x)$ を $3x^2+5x+2$ で割ったときの商を $R(x)$ とすると、

$Q(x) = (3x^2+5x+2)R(x) + 3x+8$

と表せる。

これらを代入すると、

$P = (2x^2+5x+2)\{(3x^2+5x+2)R(x) + 3x+8\} + 7x-4$

$P = (2x^2+5x+2)(3x^2+5x+2)R(x) + (2x^2+5x+2)(3x+8) + 7x-4$

$P = (3x^2+5x+2)(2x^2+5x+2)R(x) + (6x^3+16x^2+15x^2+40x+6x+16) + 7x-4$

$P = (3x^2+5x+2)(2x^2+5x+2)R(x) + 6x^3+31x^2+53x+12$

ここで、$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りを求めるので、$6x^3+31x^2+53x+12$ を $3x^2+5x+2$ で割る。

割り算を実行すると、商は $2x+7$、余りは $10x-2$ となる。

したがって、$6x^3+31x^2+53x+12 = (3x^2+5x+2)(2x+7) + 10x-2$

これを代入して

$P = (3x^2+5x+2)(2x^2+5x+2)R(x) + (3x^2+5x+2)(2x+7) + 10x-2$

$P = (3x^2+5x+2)\{(2x^2+5x+2)R(x) + 2x+7\} + 10x-2$

よって、$P$ を $3x^2+5x+2$ で割った余りは $10x-2$ である。

3. 最終的な答え

$10x-2$