関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、与えられた定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。 (1) $0 \leq x \leq 2$ (2) $-2 \leq x \leq 1$ (3) $-4 \leq x \leq -3$ (4) $-2 \leq x \leq 0$

## 解答

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、与えられた定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。

(1) $0 \leq x \leq 2$

(2) $-2 \leq x \leq 1$

(3) $-4 \leq x \leq -3$

(4) $-2 \leq x \leq 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + 1$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = -(x+1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x+1)^2 + 2$

この式から、この関数は上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(-1, 2)$ であることがわかります。

次に、それぞれの定義域について、最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標が定義域に含まれるかどうか、定義域の端点のy座標を比較することで最大値と最小値を求めます。

(1) $0 \leq x \leq 2$ の場合

頂点のx座標である$x = -1$は、定義域に含まれません。$x = 0$のとき、$y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$。$x = 2$のとき、$y = -(2+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$。したがって、最大値は$1$ ($x=0$)、最小値は$-7$ ($x=2$)となります。

(2) $-2 \leq x \leq 1$ の場合

頂点のx座標である$x = -1$は、定義域に含まれます。したがって、最大値は頂点のy座標である$2$ ($x=-1$)です。$x = -2$のとき、$y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$。$x = 1$のとき、$y = -(1+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$。したがって、最小値は$-2$ ($x=1$)となります。

(3) $-4 \leq x \leq -3$ の場合

頂点のx座標である$x = -1$は、定義域に含まれません。$x = -4$のとき、$y = -(-4+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$。$x = -3$のとき、$y = -(-3+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$。したがって、最大値は$-2$ ($x=-3$)、最小値は$-7$ ($x=-4$)となります。

(4) $-2 \leq x \leq 0$ の場合

頂点のx座標である$x = -1$は、定義域に含まれます。したがって、最大値は頂点のy座標である$2$ ($x=-1$)です。$x = -2$のとき、$y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$。$x = 0$のとき、$y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$。したがって、最小値は$1$ ($x=-2, 0$)となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 1 (x=0), 最小値: -7 (x=2)

(2) 最大値: 2 (x=-1), 最小値: -2 (x=1)

(3) 最大値: -2 (x=-3), 最小値: -7 (x=-4)

(4) 最大値: 2 (x=-1), 最小値: 1 (x=-2, 0)