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与えられた4x4行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ が正則であるかどうか、そして正則である場合、その逆行列を求める問題です。複数の選択肢の中から正しいものを選びます。

代数学行列逆行列行列式線形代数
2025/7/22

1. 問題の内容

与えられた4x4行列 A=(11−15−10−1−1011−3−1−111)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} が正則であるかどうか、そして正則である場合、その逆行列を求める問題です。複数の選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

与えられた行列 AA が正則であるかどうかを調べるには、行列式を計算する必要があります。行列式が0でなければ正則であり、逆行列が存在します。逆行列が存在する場合、逆行列を求める必要があります。
しかし、この問題は選択肢から正しいものを選ぶ形式なので、各選択肢の逆行列候補 BB に対して ABAB を計算し、結果が単位行列 II になるかどうかを確認することで、正解を特定できます。つまり、AB=IAB = I となる BB が AA の逆行列です。
各選択肢について、ABAB を計算します。
選択肢1:
AB=(11−15−10−1−1011−3−1−111)(−1−1−1510−1−101−1−3−1−111)=(−5−7400033−4−4111120)≠IAB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & 5 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -7 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ -4 & -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \neq I
選択肢2: 「Aは正則ではない」
選択肢3:
AB=(11−15−10−1−1011−3−1−111)(1410−71512−90−1−32012−1)=(21529−21−1−3−96101−3−2−8−1715)≠IAB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 10 & -7 \\ 1 & 5 & 12 & -9 \\ 0 & -1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 15 & 29 & -21 \\ -1 & -3 & -9 & 6 \\ 1 & 0 & 1 & -3 \\ -2 & -8 & -17 & 15 \end{pmatrix} \neq I
選択肢4:
AB=(11−15−10−1−1011−3−1−111)(11−10−1011−1−11151−3−1)=(267−18−7−5030−17−4114−6−131)≠IAB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 & 7 & -18 & -7 \\ -5 & 0 & 3 & 0 \\ -17 & -4 & 11 & 4 \\ -6 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \neq I
選択肢5:
AB=(11−15−10−1−1011−3−1−111)(111−5010101−1311−11)=(67−40−2−211−3−12−100−20)≠IAB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 5 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 7 & -4 & 0 \\ -2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \neq I
どの選択肢の行列も AA の逆行列ではないようです。Aが正則ではない可能性も考えられます。行列式を計算してみましょう。
det(A)=1(0−(−1)−1(1−3)+5(−1−1))−1(−1−(−1)−1(−1−0)+(−1)(−1−1))−1(−1−0−1(1−0)+(−1)(1))+5(1−0+0−(−1)−0)det(A) = 1(0 - (-1) -1(1 - 3) + 5(-1 - 1)) - 1(-1 - (-1) -1(-1 - 0) + (-1)(-1 - 1)) -1(-1 - 0 -1(1-0) +(-1)(1)) + 5(1-0 +0-(-1) -0)
=(1+2−10)−(−1+2)−(−1−1−1)+5(1+1)= (1+2-10) - (-1+2) -(-1-1-1) + 5(1+1)
=−7−1−(−3)+10=−7−1+3+10=5= -7 -1 -(-3) + 10 = -7-1+3+10 = 5
行列式が0ではないのでAは正則です。選択肢に正解がないと思われます。
選択肢の中で最も近いのは、選択肢５です。選択肢５が正しいと仮定して検証します。

3. 最終的な答え

Aは正則であり、選択肢の中に正しい逆行列がない。一番近いものは、選択肢５です。

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