与えられた2次関数について、最大値または最小値が存在する場合は、それを求めます。対象となる関数は以下の通りです。 (1) $y = (x-1)^2 + 5$ (2) $y = -3x^2 + 2$ (3) $y = x^2 - 4x - 4$ (4) $y = -x^2 + 6x - 3$ (5) $y = 2x^2 + 6x + 5$ (6) $y = -2x^2 + 3x - 1$

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、最大値または最小値が存在する場合は、それを求めます。対象となる関数は以下の通りです。

(1) $y = (x-1)^2 + 5$

(2) $y = -3x^2 + 2$

(3) $y = x^2 - 4x - 4$

(4) $y = -x^2 + 6x - 3$

(5) $y = 2x^2 + 6x + 5$

(6) $y = -2x^2 + 3x - 1$

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の最大値・最小値を求めるには、平方完成を行います。

平方完成された形 $y = a(x-p)^2 + q$ において、

- $a > 0$ ならば、下に凸な放物線であり、最小値 $q$ を $x = p$ でとります。最大値はありません。

- $a < 0$ ならば、上に凸な放物線であり、最大値 $q$ を $x = p$ でとります。最小値はありません。

各関数について、平方完成を行い、最大値または最小値を求めます。

(1) $y = (x-1)^2 + 5$ は既に平方完成されているので、頂点は $(1, 5)$ です。$a = 1 > 0$ なので、最小値は $5$ ($x=1$のとき)です。最大値はありません。

(2) $y = -3x^2 + 2 = -3(x-0)^2 + 2$ 頂点は $(0, 2)$ です。$a = -3 < 0$ なので、最大値は $2$ ($x=0$のとき)です。最小値はありません。

(3) $y = x^2 - 4x - 4 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 4 = (x - 2)^2 - 8$

頂点は $(2, -8)$ です。$a = 1 > 0$ なので、最小値は $-8$ ($x=2$のとき)です。最大値はありません。

(4) $y = -x^2 + 6x - 3 = -(x^2 - 6x) - 3 = -(x^2 - 6x + 9) - 3 + 9 = -(x - 3)^2 + 6$

頂点は $(3, 6)$ です。$a = -1 < 0$ なので、最大値は $6$ ($x=3$のとき)です。最小値はありません。

(5) $y = 2x^2 + 6x + 5 = 2(x^2 + 3x) + 5 = 2(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) + 5 - 2 \cdot \frac{9}{4} = 2(x + \frac{3}{2})^2 + 5 - \frac{9}{2} = 2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$

頂点は $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ です。$a = 2 > 0$ なので、最小値は $\frac{1}{2}$ ($x=-\frac{3}{2}$のとき)です。最大値はありません。

(6) $y = -2x^2 + 3x - 1 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 1 = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - 1 + 2 \cdot \frac{9}{16} = -2(x - \frac{3}{4})^2 - 1 + \frac{9}{8} = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$

頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$ です。$a = -2 < 0$ なので、最大値は $\frac{1}{8}$ ($x=\frac{3}{4}$のとき)です。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $5$ ($x=1$のとき), 最大値なし

(2) 最大値: $2$ ($x=0$のとき), 最小値なし

(3) 最小値: $-8$ ($x=2$のとき), 最大値なし

(4) 最大値: $6$ ($x=3$のとき), 最小値なし

(5) 最小値: $\frac{1}{2}$ ($x=-\frac{3}{2}$のとき), 最大値なし

(6) 最大値: $\frac{1}{8}$ ($x=\frac{3}{4}$のとき), 最小値なし