与えられた絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を持つ複素数 $z$ を求めます。問題は2つあります。 (1) $r = 1$, $\theta = \frac{3}{4}\pi$ (2) $r = 4$, $\theta = \frac{\pi}{3}$

1. 問題の内容

与えられた絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を持つ複素数 $z$ を求めます。問題は2つあります。

(1) $r = 1$, $\theta = \frac{3}{4}\pi$

(2) $r = 4$, $\theta = \frac{\pi}{3}$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ は、絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を用いて、次のように表されます。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

(1) $r = 1$, $\theta = \frac{3}{4}\pi$ の場合

$\cos(\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\frac{3}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、

$z = 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$

(2) $r = 4$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ の場合

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$z = 4(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 + 2\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

(1) $z = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$

(2) $z = 2 + 2\sqrt{3}i$