一辺の長さが6cmの正方形PQRSと、AB=6cm、BC=18cmの六角形ABCDEFがあります。正方形を直線BCに沿って一定の速度で移動させたとき、頂点Pと頂点Bが一致した状態からt秒後の正方形と六角形が重なった部分の面積を$S cm^2$とします。このとき、$t$と$S$の関係を表すグラフが与えられています。 (1) 正方形が移動する速さを求めます。 (2) 辺AF, CDの長さを求めます。 (3) 図3において、$a, b$の値を求めます。 (4) $S=16$となるときの$t$の値を求めます。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

一辺の長さが6cmの正方形PQRSと、AB=6cm、BC=18cmの六角形ABCDEFがあります。正方形を直線BCに沿って一定の速度で移動させたとき、頂点Pと頂点Bが一致した状態からt秒後の正方形と六角形が重なった部分の面積を$S cm^2$とします。このとき、$t$と$S$の関係を表すグラフが与えられています。

(1) 正方形が移動する速さを求めます。

(2) 辺AF, CDの長さを求めます。

(3) 図3において、$a, b$の値を求めます。

(4) $S=16$となるときの$t$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正方形が移動する速さ

グラフより、0秒から3秒で重なった部分の面積が0から36 $cm^2$ に増加しています。これは正方形がABの区間を移動していることに相当します。正方形の一辺は6cmなので、ABの長さも6cmです。よって、速さは距離 ÷ 時間 = 6cm ÷ 3秒 = 2 cm/秒です。

(2) 辺AF, CDの長さを求める

グラフより、$t=3$から$t=6$の間は面積が一定なので、正方形全体が六角形と重なっている状態です。つまり、AF = 正方形の一辺 = 6cm、CD = 正方形の一辺 = 6cmです。

(3) a, bの値を求める

$t=6$秒後から面積が減少し始めるのは、正方形がBCの区間に入って、完全に重ならなくなるまでの間です。BCの長さは18cmであり、正方形の移動速度は2cm/秒なので、$BC$を通過するのにかかる時間は 18cm ÷ 2cm/秒 = 9秒です。

したがって、$a = 6 + 9 = 15$秒

$t=a$から、$t=b$秒後までの間に正方形は$CD$の区間を通過するので、同様に考えると、

CDの区間を通過する時間は、$6 \div 2 = 3$秒

$b = a + 3 = 15 + 3 = 18$秒

(4) $S=16$となるときの$t$の値を求める

$S=16$となるのは、0秒から3秒の間と、$a=15$秒から$b=18$秒の間です。

* 0秒から3秒の間:

$S = 6 \times (2t) = 12t$なので、$12t = 16$より、$t = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

* 15秒から18秒の間:

$t$秒後の正方形が六角形と重なっている面積Sは、$t=a=15$秒のとき$S=36$であり、$t=b=18$秒のとき$S=0$です。したがって、$a \leq t \leq b$ における直線の傾きは、$\frac{0-36}{18-15}=-12$ となります。

よって、$S = -12(t-15) + 36 = -12t + 180 + 36 = -12t + 216$

$S=16$とおくと、$16 = -12t + 216$

$12t = 216 - 16 = 200$

$t = \frac{200}{12} = \frac{50}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 正方形が移動する速さ: 2 cm/秒

(2) 辺AFの長さ: 6 cm, 辺CDの長さ: 6 cm

(3) aの値: 15, bの値: 18

(4) S=16となるときのtの値: $t = \frac{4}{3}, \frac{50}{3}$