$\int_{1}^{x} f(t) dt = x^3 + 2x^2 - a$を満たす定数 $a$ の値と関数 $f(x)$ を求める問題です。具体的には、$f(x) = イ x^2 + ウ x$ の $イ$ と $ウ$ に当てはまる数値を求めます。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{x} f(t) dt = x^3 + 2x^2 - a$を満たす定数 $a$ の値と関数 $f(x)$ を求める問題です。具体的には、$f(x) = イ x^2 + ウ x$ の $イ$ と $ウ$ に当てはまる数値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分します。

積分範囲に $x$ が含まれているので、微分積分学の基本定理を用います。

$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} f(t) dt = f(x)$

また、右辺を微分すると、

$\frac{d}{dx} (x^3 + 2x^2 - a) = 3x^2 + 4x$

したがって、$f(x) = 3x^2 + 4x$ となります。

よって、$イ = 3$、$ウ = 4$ です。

次に、積分方程式に $x = 1$ を代入します。

$\int_{1}^{1} f(t) dt = 1^3 + 2(1)^2 - a$

$\int_{1}^{1} f(t) dt = 0$ なので、

$0 = 1 + 2 - a$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$f(x) = 3x^2 + 4x$

イ = 3

ウ = 4